多重背包问题(二进制拆分)

多重背包问题描述：

  有$N$种物品，第$i$种物品的体积是$c_i$，价值是$w_i$,每种物品的数量都是有限的，为$n_i$。现有容量为$V$的背包，求在总体积不超过$V$的条件下，使得背包的总价值最大。

朴素算法:

  将第$i$类物品的$n_i$个物品拆分，得$\Sigma n_i$个物品，即将原问题转换为了01背包问题，时间复杂度为$O(V\times \Sigma n)$。
  也可以在转移的过程中枚举$k$，表示第$i$种物品选取的数量。$$dp[i][v]=max(dp[i-1][v-k\ast c_i$$