多重背包问题和“二进制拆分”

预告：我用两年写的新书《算法竞赛》，已于2022年2月交给清华大学出版社，预计于2022年7月出版。《算法竞赛》是一本“大全”，内容覆盖“基础-中级-高级”，篇幅700页左右。部分知识点的草稿已经在本博客发表。本篇博客节选自新书《算法竞赛》的“5.2 经典线性DP问题”。

   多重背包问题：给定$n$种物品和一个背包，第$i$种物品的体积是$c_i$，价值为$w_i$，并且有$m_i$个，背包的总容量为$C$。如何选择装入背包的物品，使得装入背包中的物品的总价值最大?
   这是一个经典的DP问题，是0/1背包问题的扩展。具体描述见下面的例题。

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宝物筛选 洛谷 P1776 https://www.luogu.com.cn/problem/P1776
输入：第一行是整数 $n$和$C$，分别表示物品种数和背包的最大容量。
接下来 $n$ 行，每行三个整数 $w_i、c_i、m_i$，分别表示第$i$个物品的价值、体积、数量。
输出：输出一个整数，表示背包不超载的情况下装入物品的最大价值。

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   这里给出3种DP解法。推荐第2种解法，它把多重背包转化为：“二进制优化+0/1背包”。

1、多重背包问题的简单DP解法

   有两种思路。
   第一种思路，转换为0/1背包问题。把相同的$m_i$个第$i$种物品看成独立的$m_i$个，总共 ∑ i = 1 n m i \sum_{i=1}^nm_i ∑