poj 2115 C Looooops 拓展欧几里德定理

最新推荐文章于 2020-12-17 18:33:23 发布

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分类专栏：数论*

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本文介绍了解特定形式模线性方程的方法，利用拓展欧几里德定理求解形如(a+c*x)%2^k=b的问题，并提供了一个C++实现示例。

题意：求x，使得(a+c*x)%2^k=b;

题解：令n=2^k，则变换等式：c*x%n=b-a；再令b=b-a，a=c；就变成了a*x%n=b，一开始脑袋竟然混乱，将a*x想成了a^x，汗死。。。

先介绍下拓展欧几里德定理：已知a和b，可以用拓展欧几里德定理求得一对整数(x,y)，使得ax+by=gcd(a,b)；

接着讲解法：用拓展欧几里德定理求得ax+ny=d，d=gcd(a,b)；两边同除以d，则，a/d*x+n/d*y=1。这个先放放，我们知道a*x%n=b,则存在k使得k*n+b=a*x，所以

k*n/d+b/d=a/d*x，其中k，n/d，a/d，x都为整数，所以如果等式成立，b必定是d的倍数，否则不成立。再回来a/d*x+n/d*y=1,令n=n/d，再两边同乘以b并对n取余，得a*(b/d*x)=b(mod n),所以答案就是b/d*x

注意：用移位求n时(n=1<<k),由于n超出int范围，所以需要强制转换1，不然就会出错。

耗时：0MS

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef __int64 LL;
void gcd(LL a,LL b,LL &d,LL &x,LL &y)//拓展欧几里德
{
    if(!b){d=a;x=1;y=0;}
    else{gcd(b,a%b,d,y,x);y-=x*(a/b);}
}
int main()
{
    LL a,b,c,k;
    while(cin>>a>>b>>c>>k)
    {
        if(a==0&&b==0&&c==0&&k==0)break;
        LL i,j,d,x,y,n;
        n=(LL)1<<k;//！！！
        b=(b-a+n)%n;
        a=c;
        gcd(a,n,d,x,y);
        if(b%d){cout<<"FOREVER"<<endl;}
        else
        {
            n=n/d;
            cout<<(b/d*x%n+n)%n<<endl;
        }
    }
    return 0;
}