21、多维信号表示中的尺度处理与分析

多维信号表示中的尺度处理与分析

1. 信号尺度基础

在信号处理中，图像在空间域和波数域的表示各有特点。在空间域表示图像时，我们仅能以晶格常数 $\Delta x$ 的精度知道位置信息，而该位置的局部波数可能处于从 $−1/(2\Delta x)$ 到 $1/(2\Delta x)$ 的范围内，对于图像中某点包含的波数信息一无所知。相反，在波数域中，每个像素代表一个波数，对于给定大小的图像，其波数分辨率最高，例如在每个坐标上有 $N$ 个像素的图像，波数分辨率为 $−1/(N\Delta x)$ 。然而，此时位置信息完全丢失，因为波数空间中的一个点代表的是遍布整个图像的周期性结构，位置不确定性为图像的线性尺寸 $N\Delta x$ 。

这两种表示方式处于两个极端，单独使用它们都不足以分析图像中的对象。在波数表示中，来自不同独立对象的空间结构会相互混合；在空间表示中，我们只能知道局部像素的灰度值，而对对象中包含的空间结构信息一无所知。因此，我们需要一种联合表示方式，既能将图像分离成不同的波数范围（尺度），又能尽可能保留空间分辨率，这种表示方式被称为多尺度或多分辨率表示。

联合空间/波数分辨率的限制由不确定性关系决定，该关系指出空间域和波数域分辨率的乘积不能超过一定阈值。除了空间域和波数域，任何满足不确定性关系的分辨率组合都可以被选择。在过去的二十年里，已经发展出了多种多分辨率信号处理的概念，如加窗傅里叶变换、Gabor 滤波器、极可分正交滤波器和尺度可控滤波器等。这些技术虽然看起来不同，但本质上有很多共同之处，只是从不同的角度看待多分辨率信号表示的问题。

1.1 加窗傅里叶变换

加窗傅里叶变换是实现多分辨率信号表示的一种方法。它通过对图像