21、多维信号的尺度表示与处理

多维信号的尺度表示与处理

1. 信号尺度基础

在信号处理中，图像在空间域和波数域的表示各有特点。当图像在空间域表示时，我们能以晶格常数 $\Delta x$ 的精度知道像素位置，但对于该位置所含的波数信息一无所知，该位置的局部波数可能处于从 $-\frac{1}{2\Delta x}$ 到 $\frac{1}{2\Delta x}$ 的范围内。而在波数域表示时，情况则相反，每个像素代表一个波数，对于给定大小的图像，其波数分辨率最高，为 $-\frac{1}{N\Delta x}$（$N$ 为每个坐标方向的像素数），但此时位置信息完全丢失，因为波数空间中的一个点代表的是遍布整个图像的周期性结构，位置不确定性为图像的线性尺寸 $N\Delta x$。

这两种表示方式是两个极端，单独使用它们都不足以分析图像中的对象。在波数表示中，不同独立对象的空间结构会混合在一起，因为提取的周期性结构覆盖了整个图像；在空间表示中，我们仅知道局部像素的灰度值，而对对象中包含的空间结构一无所知。

因此，我们需要一种联合表示方式，既能将图像分离成不同的波数范围（尺度），又能尽可能保留空间分辨率，这种表示方式称为多尺度或多分辨率表示。联合空间/波数分辨率的极限由不确定性关系决定，即空间域和波数域分辨率的乘积不能超过一定阈值。除了空间域和波数域，满足不确定性关系的任何分辨率组合都可以选择，所以图像中波数的分辨率（即不同尺度的区分）可以设置为任意值，并对应相应的空间分辨率。

在过去的二十年里，为了实现多分辨率信号处理，发展了许多概念，包括窗口傅里叶变换、Gabor 滤波器、极可分正交滤波器和尺度可控滤波器等。这些技术虽然看似不同，但本质上都是从不同角度看待多分辨率信号表示问题。

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