6、群体活动选择问题全解析

群体活动选择问题全解析

1. 引言

群体活动选择旨在根据参与者（代理）的偏好，为一组参与者选择一个或多个活动，并将这些代理分配到不同的选定活动中（或者不参与任何活动）。该问题的特殊性在于，代理的偏好既涉及活动本身，也涉及特定活动的参与者数量。

例如，研讨会组织者计划在一个空闲下午安排一系列团体活动：
- 活动并行进行，每个参与者最多参加一项活动。
- 可能的活动包括徒步旅行、前往附近历史名城的巴士旅行和乒乓球比赛。
- 徒步旅行可以有多个小组，巴士旅行也可租用多辆巴士，但乒乓球比赛只能有一个小组，因为只有一张球桌。
- 巴士租赁费用由参与者分摊，所以参与者通常更喜欢人数多的巴士旅行。
- 对于乒乓球比赛，参与者数量既不宜过多也不宜过少，球员既不想长时间等待轮到自己，也不想一直不停比赛。

这个问题有多种自然变体，如稳定邀请问题，即只有一个活动（如晚宴或社交活动），需要选择一组受邀者，潜在受邀者对受邀人数以及其他受邀者有偏好。这个问题还可以扩展到受邀者的偏好还取决于活动日期的情况。

2. 模型

2.1 基本定义

• 活动与分配 ：考虑活动集合(A = A^∗∪{a_∅})，其中(A^∗= {a_1, \ldots, a_m})，(a_∅)为无效活动，代理被分配到(a_∅)表示不参与任何具体活动。分配(\pi : N →A)，(\pi_0)是被分配到(a_∅)的代理集合，(\pi_j)是被分配到(a_j)的代理集合，(CS_π = { {i} | i ∈\pi_0} ∪{\pi_j | 1 ⩽j ⩽m,