7、一维量子力学中的束缚态：无限深方势阱与谐振子

一维量子力学中的束缚态：无限深方势阱与谐振子

1. 无限深方势阱中的能级间距

在量子力学的一维问题中，无限深方势阱是一个基础模型。能级差 $\Delta E$ 与势阱参数和粒子特性相关，尤其与粒子质量 $m$ 和势阱尺寸 $L$ 有关。能量与 $m$ 和 $L^2$ 成反比，即粒子越轻、势阱越窄，能级间距越大。

我们可以用原子单位来估算能量。例如，模拟原子时，选择 $m = 1$ 和 $L = 8$（$n = 2$ 态的原子直径），计算 $n = 1$ 时的 $\Delta E$：
$\Delta E = \frac{\pi^2}{2 \cdot 64} (5) \approx 0.39 \approx 10.5$ eV
氢原子 $n = 2$ 和 $n = 1$ 态的实际能量差为 $10.4$ eV，虽然数值接近，但这只是巧合。重要的是，我们估算的 $\Delta E$ 数量级正确，约为 eV，这与原子能级差的数量级相符。

若将受限粒子质量增大 2000 倍使其与核子质量相当，同时将势阱尺寸缩小约 $10^5$ 倍使其接近原子核大小，能级间距会增大约 $10^7$ 倍，此时 $\Delta E \approx 10$ MeV，与典型原子核的能级间距相当。

2. 谐振子问题

虽然粒子在盒子中的简单问题能让我们学到很多量子物理知识，但它的一些特性可能会产生误导。刚性壁和盒子内零势能使盒子内本征函数的德布罗意波长恒定，表现为纯粹的正弦本征函数。而且，刚性壁使本征函数在经典禁区为零，便于确定边界条件。然而，当势能函数不是不可穿透时，边界条件的确定就更具挑战性。

2.1 谐振子势能