19、用算符方法求解谐振子问题及相干态解析

用算符方法求解谐振子问题及相干态解析

1. 代数方法求解谐振子

在量子力学中，求解谐振子问题是一个基础且重要的任务。代数方法为我们提供了一种简洁而优雅的途径来获取谐振子的能量本征值和本征函数。

1.1 基态本征函数的推导

为了得到最低本征函数，我们从降低态的操作开始，即利用方程 $\hat{a}\psi_0 (x) = 0$。将其写为坐标表示形式：
[
\hat{a}\psi_0 (x) =
\left(\sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}x + \frac{i}{m\omega}\hat{p}\right)\psi_0 (x) =
\left(\sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}x + \frac{\hbar}{m\omega}\frac{d}{dx}\right)\psi_0 (x) = 0
]
这是一个关于 $\psi_0 (x)$ 的一阶线性微分方程，且该方程是可分离变量的。求解可得归一化的基态本征函数：
[
\psi_0 (x) = \left(\frac{\alpha^2}{\pi}\right)^{1/4}e^{-\alpha^2x^2/2}
]
其中 $\alpha = \sqrt{m\omega/\hbar}$。需要注意的是，任意谐振子的态矢量（波函数）是与时间相关的，时间依赖性可通过对态矢量 $|\psi\rangle$ 作用时间演化算符得到。用本征矢 $|n\rangle$ 表示，任意态矢为：
[
|\psi\rangle = \sum_{i = 0}^{\infty}a_ie^{-i E_i