44、树的同构性及相关算法分析

最新推荐文章于 2025-12-11 13:12:19 发布

a1b2c3d

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分类专栏：离散数学的魅力与应用文章标签：树的同构性排序算法锦标赛排序

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树的同构性及相关算法分析

1. 问题引入

在处理硬币问题时，假设有 n 枚硬币，其中好硬币重量相同，坏硬币重量也相同，但坏硬币比好硬币轻，且至少有一枚好硬币和一枚坏硬币。我们面临以下几个任务：
- 证明确定坏硬币数量至少需要 $\log_3(n - 1)$ 次称重。
- 展示如何在最多 $n - 1$ 次称重内确定坏硬币的数量。

同时，在排序和树的同构性方面也有一系列问题需要探讨，例如使用决策树来确定排序所需的最少比较次数，以及判断不同类型树（自由树、根树、二叉树）的同构性等。

2. 排序相关问题

2.1 四元素排序算法

需要给出一个在最坏情况下使用五次比较对四个元素进行排序的算法。虽然文中未给出具体算法，但这是排序算法设计中的一个具体问题。

2.2 五元素和六元素排序的下界及算法

使用决策树来找出在最坏情况下对五个元素进行排序所需比较次数的下界，并给出使用该次数比较的排序算法。
同样，对于六个元素也进行类似的操作。

决策树在排序问题中起到了重要的作用，它可以帮助我们分析排序过程中比较次数的下界，从而设计出更高效的排序算法。

2.3 锦标赛排序

锦标赛排序是一种特殊的排序方法，给定一个序列 $s_1, \ldots, s_{2^k}$ 进行非降序排序。其步骤如下：
1. 构建一个二叉树，终端顶点标记为 $s_1, \ldots, s_{2^k}$。
2. 从左到右，为每对顶点创建一个父顶点，并将其标记为子顶点中的最大值，持续此过程直到到达根节点，此时找到最大值 $m$。
3. 为了找到第二大的值，选择一个小于序列中所有元素的值 $v$，将包含 $m$ 的终端顶点 $w$ 替换为 $v$，然后沿着从 $w$ 到根的路径重新标记顶点，找到第二大的值，继续此过程直到序列有序。

以下是关于锦标赛排序的一些问题及解答：
- 名称由来 ：“锦标赛”这个名称很合适，因为它类似于锦标赛的比赛过程，每次比较就像一场比赛，胜者（较大值）晋级到上一轮，最终根节点是最大值，就像锦标赛的冠军。
- 比较次数 ：
- 找到最大元素所需的比较次数：在构建树的过程中，每一层的比较次数逐渐减少，总的比较次数为 $2^k - 1$，即 $n - 1$ 次（因为 $n = 2^k$）。
- 找到第二大元素所需的比较次数：在找到最大值后，替换最大值所在的终端顶点并重新标记路径，所需比较次数为 $\log_2 n$ 次。

可以用 mermaid 绘制锦标赛排序的流程图：

graph TD;
    A[开始] --> B[构建二叉树，标记终端顶点];
    B --> C[为每对顶点创建父顶点，标记为最大值];
    C --> D{是否到达根节点};
    D -- 否 --> C;
    D -- 是 --> E[找到最大值 m];
    E --> F[选择 v < 所有元素];
    F --> G[替换包含 m 的终端顶点为 v];
    G --> H[重新标记从替换顶点到根的路径];
    H --> I[找到第二大值];
    I --> J{序列是否有序};
    J -- 否 --> F;
    J -- 是 --> K[结束];

3. 树的同构性

3.1 自由树的同构性

两个自由树 $T_1$ 和 $T_2$ 同构的定义为：存在一个从 $T_1$ 的顶点集到 $T_2$ 的顶点集的一一对应且满射的函数 $f$，使得在 $T_1$ 中顶点 $v_i$ 和 $v_j$ 相邻当且仅当在 $T_2$ 中顶点 $f(v_i)$ 和 $f(v_j)$ 相邻。

例如，对于树 $T_1$ 和 $T_2$，若存在函数 $f$ 满足上述条件，则它们同构。如：

T1
a
d
e
c
b

T2
1
2
4
5
3

f(a) = 1,
f(b) = 3,
f(c) = 2,
f(d) = 4,
f(e) = 5

这个函数 $f$ 是一一对应且满射的，并且保持了邻接关系，所以 $T_1$ 和 $T_2$ 同构。

若能找到一个不变量，其中一棵树满足而另一棵树不满足，则可以证明两棵树不同构。例如，若 $T_2$ 有一个度为 3 的顶点，而 $T_1$ 没有，则 $T_1$ 和 $T_2$ 不同构。

可以通过以下表格总结自由树同构性的判断方法：
| 判断方法 | 说明 |
| ---- | ---- |
| 存在一一对应且满射的函数保持邻接关系 | 若存在这样的函数，则两棵树同构 |
| 找到不变量差异 | 若一棵树满足某不变量而另一棵不满足，则不同构 |

3.2 根树的同构性

两个根树 $T_1$ 和 $T_2$ 同构，除了需要满足自由树同构的条件外，还需要满足 $f(root(T_1)) = root(T_2)$。

例如，对于根树 $T_1$ 和 $T_2$，若存在函数 $f$ 满足：

T1
y1
y2
y5
y6
y7
y4
y3

T2
w1
w2
w5
w6 w7
w3
w4

f(y1) = w1,
f(y2) = w3,
f(y3) = w4,
f(y4) = w2,
f(y5) = w7,
f(y6) = w6,
f(y7) = w5

则 $T_1$ 和 $T_2$ 同构。

若根的度不同，则根树不同构。例如，若 $T_1$ 的根的度为 3，而 $T_2$ 的根的度为 2，则它们不同构，但可能作为自由树是同构的。

3.3 二叉树的同构性

两个二叉树 $T_1$ 和 $T_2$ 同构，需要满足以下条件：
1. 存在一个从 $T_1$ 的顶点集到 $T_2$ 的顶点集的一一对应且满射的函数 $f$，使得在 $T_1$ 中顶点 $v_i$ 和 $v_j$ 相邻当且仅当在 $T_2$ 中顶点 $f(v_i)$ 和 $f(v_j)$ 相邻。
2. $f(root(T_1)) = root(T_2)$。
3. 在 $T_1$ 中 $v$ 是 $w$ 的左孩子当且仅当在 $T_2$ 中 $f(v)$ 是 $f(w)$ 的左孩子。
4. 在 $T_1$ 中 $v$ 是 $w$ 的右孩子当且仅当在 $T_2$ 中 $f(v)$ 是 $f(w)$ 的右孩子。

例如，对于二叉树 $T_1$ 和 $T_2$，若 $f(v_i) = w_i$ （$i = 1, \ldots, 4$）满足上述条件，则它们同构。若 $T_1$ 的根有右孩子，而 $T_2$ 的根没有右孩子，则它们不同构，但可能作为根树或自由树是同构的。

4. 不同顶点数的非同构树数量

五顶点自由树 ：有三个非同构的五顶点自由树。可以通过分析顶点的度来证明，分别考虑最大顶点度为 4、3、2 的情况。
四顶点根树 ：有四个非同构的四顶点根树。通过分析根的度（3、2、1）来确定不同的结构。
三顶点二叉树 ：有五个非同构的三顶点二叉树。通过分析根的度（2、1）以及左右子树的情况来确定。

5. 二叉树数量公式

对于有 $n$ 个顶点的非同构二叉树的数量，有公式 $C_n = \frac{C(2n, n)}{n + 1}$，其中 $C_n$ 是第 $n$ 个卡特兰数。

推导过程如下：
设 $a_n$ 表示有 $n$ 个顶点的二叉树的数量。
- 当 $n = 0$ 时，$a_0 = 1$（空二叉树）。
- 当 $n = 1$ 时，$a_1 = 1$。
- 当 $n = 2$ 时，$a_2 = 2$。
- 当 $n = 3$ 时，$a_3 = 5$。

对于 $n > 0$，构建一个有 $n$ 个顶点的二叉树，一个顶点为根，若左子树有 $k$ 个顶点，则右子树有 $n - k - 1$ 个顶点。根据乘法原理，构建这样的二叉树的方法数为 $a_k a_{n - k - 1}$。不同的 $k$ 值会得到不同的 $n$ 顶点二叉树，根据加法原理，总的 $n$ 顶点二叉树数量为：
[a_n = \sum_{k = 0}^{n - 1} a_k a_{n - k - 1}]
这个递推关系和初始条件 $a_0 = 1$ 定义了卡特兰数序列，所以 $a_n$ 等于卡特兰数 $\frac{C(2n, n)}{n + 1}$。

6. 判断二叉树同构的算法

以下是一个线性时间算法来判断两个二叉树是否同构：

def bin_tree_isom(r1, r2):
    if r1 is None and r2 is None:
        return True
    if r1 is None or r2 is None:
        return False
    lc_r1 = r1.left
    lc_r2 = r2.left
    rc_r1 = r1.right
    rc_r2 = r2.right
    return bin_tree_isom(lc_r1, lc_r2) and bin_tree_isom(rc_r1, rc_r2)

该算法的输入是两个二叉树的根节点 $r1$ 和 $r2$，输出是一个布尔值，表示两棵树是否同构。

算法的时间复杂度分析：
- 最坏情况下，该算法的时间复杂度为 $\Theta(n)$，其中 $n$ 是两棵树的总顶点数。
- 可以通过数学归纳法证明，在最坏情况下，比较次数 $a_n$ 满足 $a_n \leq 3n + 2$。当 $n$ 为偶数时，对于两个 $k$ 顶点的同构二叉树，比较次数为 $3n + 2$；当 $n$ 为奇数时，对于特定的两棵二叉树，比较次数为 $3n + 1$。

综上所述，排序和树的同构性问题在算法设计和图论中都具有重要的意义，通过不同的方法和算法可以解决这些问题，并且可以分析它们的复杂度和性质。

树的同构性及相关算法分析

7. 树同构性的应用示例

在实际生活中，很多情况可以用决策树来建模。例如，判断谁必须提交联邦纳税申报单的情况，就可以构建一个决策树。以下是一个简单的决策树示例：

graph TD;
    A[是否有收入] -->|是| B[收入是否超过阈值];
    A -->|否| C[无需申报];
    B -->|是| D[是否为特定身份];
    B -->|否| C;
    D -->|是| E[必须申报];
    D -->|否| C;

另外，玩 21 点游戏时，也可以构建一个决策树来制定合理的策略。例如：

graph TD;
    A[玩家手牌点数] -->|小于 12| B[要牌];
    A -->|12 - 16| C{庄家明牌点数};
    A -->|大于 16| D[停牌];
    C -->|小于 7| B;
    C -->|大于等于 7| D;

8. 练习题及解答

以下是一些关于树同构性和排序算法的练习题及解答：

8.1 自由树同构判断

在判断每对自由树是否同构时，如果同构，需要指定一个同构函数；如果不同构，需要给出一个不变量，其中一棵树满足但另一棵不满足。例如：
| 树对 | 判断结果 | 同构函数（若同构） | 不变量（若不同构） |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 树对 1 | 需具体分析树的结构判断 | 若同构，给出具体函数 | 若不同构，指出如顶点度等差异 |
| 树对 2 | 同上 | 同上 | 同上 |
| 树对 3 | 同上 | 同上 | 同上 |
| 树对 4 | 同上 | 同上 | 同上 |
| 树对 5 | 同上 | 同上 | 同上 |
| 树对 6 | 同上 | 同上 | 同上 |

8.2 根树同构判断

对于每对根树，同样需要判断是否同构，指定同构函数（若同构），给出不变量（若不同构），并判断是否作为自由树同构。例如：
| 树对 | 根树同构判断 | 同构函数（若同构） | 不变量（若不同构） | 自由树同构判断 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 树对 7 | 需具体分析树的结构判断 | 若同构，给出具体函数 | 若不同构，指出如根的度等差异 | 需具体分析 |
| 树对 8 | 同上 | 同上 | 同上 | 同上 |
| 树对 9 | 同上 | 同上 | 同上 | 同上 |

8.3 二叉树同构判断

对于每对二叉树，判断是否同构，指定同构函数（若同构），给出不变量（若不同构），并判断是否作为自由树或根树同构。例如：
| 树对 | 二叉树同构判断 | 同构函数（若同构） | 不变量（若不同构） | 自由树同构判断 | 根树同构判断 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 树对 10 | 需具体分析树的结构判断 | 若同构，给出具体函数 | 若不同构，指出如左右子树情况等差异 | 需具体分析 | 需具体分析 |
| 树对 11 | 同上 | 同上 | 同上 | 同上 | 同上 |
| 树对 12 | 同上 | 同上 | 同上 | 同上 | 同上 |

8.4 绘制非同构树

绘制所有非同构的三顶点自由树：可以通过分析顶点的连接方式，得到不同的结构。
绘制所有非同构的四顶点自由树：同样根据顶点的度和连接关系来确定不同的结构。
绘制所有非同构的六顶点自由树：这需要更细致的分析和组合。
绘制所有非同构的三顶点根树：考虑根的度和子树的分布。
绘制所有非同构的五顶点根树：分析根的度以及子树的各种可能情况。
绘制所有非同构的二顶点二叉树：根据根和子树的关系确定。
绘制所有非同构的四顶点二叉树：考虑根的度、左右子树的顶点数等因素。
绘制所有非同构的七顶点满二叉树（每个内部顶点有两个孩子）：根据满二叉树的性质来绘制。
绘制所有非同构的九顶点满二叉树：同样依据满二叉树的特点进行绘制。

8.5 公式推导和证明

证明当两个 $k$ 顶点同构二叉树输入到判断二叉树同构的算法时，比较次数等于 $6k + 2$，可以使用数学归纳法。
- 基础步骤 ：当 $k = 0$ 时，即空树，比较次数为 2，满足 $6 \times 0 + 2 = 2$。
- 归纳步骤 ：假设当 $k = m$ 时成立，即比较次数为 $6m + 2$。当 $k = m + 1$ 时，分析左右子树的情况，结合算法的递归过程，证明比较次数为 $6(m + 1) + 2$。
证明当输入图中所示的两个二叉树到判断二叉树同构的算法时，比较次数等于 $6k + 4$。通过分析算法在处理这两棵树时的具体步骤和比较过程来证明。

9. 总结

树的同构性在图论和算法设计中有着广泛的应用。通过判断不同类型树（自由树、根树、二叉树）的同构性，可以解决很多实际问题，如数据结构的等价性判断等。排序算法中的锦标赛排序也是一种有趣的排序方法，它利用二叉树的结构来实现排序。同时，对于不同顶点数的非同构树数量的研究，以及二叉树数量公式的推导，都为我们深入理解树的结构和性质提供了重要的理论基础。判断二叉树同构的线性时间算法，为实际应用中高效处理树的同构问题提供了可能。在实际应用中，我们可以根据具体问题构建决策树，制定合理的策略，如纳税申报判断和 21 点游戏策略等。通过对这些问题的研究和解决，我们可以更好地利用树的结构和算法来解决各种实际问题。