34、递归关系与图论：概念、应用与实践

递归关系与图论：概念、应用与实践

1. 递归关系相关知识

1.1 递归关系基础概念

递归关系在许多领域都有重要应用，它与初始条件共同定义了一个序列。常见的应用场景包括复利计算、汉诺塔问题、经济蛛网模型以及阿克曼函数等。
- 复利计算 ：假设一个人投资$4000$美元，年利率为$17\%$，每年复利一次。设$A_n$表示$n$年后的金额，那么可以得到递归关系$A_n = 1.17A_{n - 1}$，初始条件为$A_0 = 4000$。
- 汉诺塔问题 ：有相关算法可以以最小的空间和时间复杂度解决特定的汉诺塔问题，如[Cull]中给出的算法。[Hinz]对汉诺塔问题进行了全面讨论，包含50篇参考文献。
- 经济蛛网模型 ：该模型最早出现在[Ezekiel]中。

1.2 递归关系的求解方法

1.2.1 迭代法

通过不断迭代来求解递归关系。例如，对于一个由规则“第一项是$3$，第$n$项是$n$加上前一项”定义的序列：
- 第一项$a_1 = 3$。
- 第二项$a_2 = 2 + a_1 = 2 + 3 = 5$。
- 第三项$a_3 = 3 + a_2 = 3 + 5 = 8$。
- 第四项$a_4 = 4 + a_3 = 4 + 8 = 12$。
初始条件为$a_1 = 3$，递归关系为$a_n = n + a_{n - 1}$。

1.2.2 特征方程法

对于线性齐次递归关系，如$a_n = -