2、网络与流：基础概念与算法

网络与流：基础概念与算法

1. 初步介绍

网络与流是现代通信网络设计中的核心概念之一。网络可以被理解为一种结构，用于在网络中的各个节点间传输某种商品（如数据）。图论提供了自然的模型来表示这种结构，其中节点表示网络中的设备，边表示连接这些设备的链路。网络中的流量问题可以被抽象为图上的流问题，即如何有效地在图中传输某种商品，同时满足各种约束条件。

1.1 图的基本概念

图（Graph）由节点（Vertices）和边（Edges）构成。节点表示网络中的实体，如路由器或交换机，而边表示这些实体之间的连接。根据问题的不同，边可以是无向的（允许双向流动）或有向的（仅允许单向流动）。无向图适用于全双工链路，即允许同时双向通信，而有向图则更适用于单向通信链路。

1.2 图流问题

图流问题涉及在网络中传输流量时的各种约束条件，如容量限制和成本最小化。这类问题可以分为几类，包括连通性问题、最短路径问题、最小费用流问题、最大流问题等。每个问题都有其独特的应用场景和求解方法。

2. 网络表示法

为了便于分析和求解图流问题，需要采用适当的表示方法。以下是几种常见的图表示方法：

2.1 邻接矩阵

邻接矩阵是一种常用的表示方法，尤其适用于无向图。对于一个无向图，邻接矩阵是对称的，矩阵中的每个元素表示两个节点之间是否存在边。具体来说，如果节点 (i) 和节点 (j) 之间有一条边，则邻接矩阵 (A) 的元素 (A_{ij}) 和 (A_{ji}) 均为 1，否则为 0。

示例 2.1

考虑一个无向图，其邻接矩阵如下所示：

[
A =