37、域论与椭圆曲线计算工具介绍

域论与椭圆曲线计算工具介绍

1. 有限域相关理论

在有限域的研究中，有一些重要的定理和结论。根据拉格朗日定理，如果 $\mu_m \subseteq F_q^\times$，那么 $m|q - 1$。反之，若 $m|q - 1$，由于 $F_q^\times$ 是阶为 $q - 1$ 的循环群，它存在一个阶为 $m$ 的子群。该子群的元素必定满足 $x^m = 1$，所以它们就是 $\mu_m$ 的 $m$ 个元素。

设 $F_q \subseteq F_{q^n}$ 为有限域，可将 $F_{q^n}$ 视为 $F_q$ 上的 $n$ 维向量空间。这意味着存在 $F_{q^n}$ 中的一组基 ${\beta_1, \ldots, \beta_n}$，使得 $F_{q^n}$ 中的每个元素都能唯一表示为 $a_1\beta_1 + \cdots + a_n\beta_n$ 的形式，其中 $a_1, \ldots, a_n \in F_q$。

下面的命题表明可以选择一种特别好的基，有时称为正规基。
命题 C.4 ：存在 $\beta \in F_{q^n}$，使得 ${\beta, \varphi_q(\beta), \ldots, \varphi_q^{n - 1}(\beta)}$ 是 $F_{q^n}$ 作为 $F_q$ 上向量空间的一组基。

正规基的一个优点是 $q$ 次幂映射在坐标上变成了一个移位算子。设 $x = a_1\beta + a_2\varphi_q(\beta) + \cdots + a_n\varphi_q^{n - 1}(\beta)$，其中 $a_i \in F_q$。因为 $a_i^q