39、其他公钥密码系统与协议解析

其他公钥密码系统与协议解析

1. 函数σ的性质证明

在某些特定条件下，函数σ展现出了重要的性质。当σ的两个参数都包含“a1 ∈A”的见证时，σ会输出⟨a1, w⟩，其中w是两个见证中按字典序较小的那个。通过对不同情况的分析，可以得出以下结论：
- 若k ∈{0, 1}，则(aσb)σc = ⊥= aσ(bσc)。
- 若k = 2，则(aσb)σc = ⟨a1, a1⟩= aσ(bσc)。
- 若k = 3，则(aσb)σc = ⟨a1, min(a2, b2, c2)⟩= aσ(bσc)，这里min(a2, b2, c2)表示a2、b2和c2中按字典序最小的元素。

在另一种情况（即(a1 ≠ b1或a1 ≠ c1或b1 ≠ c1) 或者 (a1 = b1 = c1且{a2, b2, c2} ⊈{a1} ∪WitM(a1))）下，也能验证(aσb)σc = ⊥= aσ(bσc)。综合上述各种情况，可知(8.19)式成立，从而证明了σ是可结合的。为了完成定理8.36的证明，还需证明σ可以扩展为一个全函数，且不破坏其其他性质。

2. 练习题与问题

以下是一系列相关的练习题和问题，涵盖了多种公钥密码系统和协议的操作与分析：
|序号|题目类型|具体内容|
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|Exercise 8.1|Diffie - Hellman协议相关|(a) 验证12是17的原根，即⟨12⟩= Z∗17；(b) 使用“平方 - 乘法”算法验证Bob的秘密数β = 12^15 ≡10 mod 17；(c) 对于p = 17和γ = 11，执行Diffie - Hellman协议，其中Ali