32、整数分解算法：从基础到高级的全面解析

整数分解算法：从基础到高级的全面解析

素性测试的突破

在过去，高效的素性测试大多是随机算法。然而，Agrawal、Kayal和Saxena在2002年发表的“Primes is in P”论文中取得了决定性的突破，他们证明了素性问题可以在确定性多项式时间内解决。这一成果不仅在复杂性理论领域引起了轰动，还在数论、密码学等领域产生了广泛影响，甚至登上了《纽约时报》等日常媒体。

在此之前，素性问题被认为是既不属于P类问题也不是NP完全问题的稀有候选之一。但现在，素性已不再是这类问题的典型代表，而是成为了一个可以高效解决的问题。不过，这个确定性算法不太可能很快取代像Miller - Rabin测试这样的随机素性测试。原始论文中该算法的运行时间为$O(n^{12})$，经过更细致的分析，这个界限已被改进到$O(n^{6})$，但常见的随机素性测试仍然更高效，并且对于实际应用来说，随机算法的错误概率可以小到忽略不计。

分解问题概述

RSA密码系统的安全性很大程度上依赖于大整数难以被高效分解。传统上，分解问题是一个函数问题，即给定一个整数$n \geq 2$，确定$n$的素因数分解，并按升序列出这些因数。用数学语言定义为：
$factoring(n) = \langle p_1, p_2, \ldots, p_k \rangle$，其中$n = \prod_{i = 1}^{k} p_i$是$n$的素因数分解，且$p_i \leq p_j$（$i < j$），所有数字都以二进制形式表示。

目前还没有已知的高效分解算法，因此分解问题是否属于FP类尚不清楚。不过，分解问题显然属于NP类，甚至已知它属于UP ∩ coUP，这表明它不太可能是