29、随机算法与复杂度类概述

随机算法与复杂度类概述

1. 强生成器的迭代构建

在迭代过程中，第 $i$ 次迭代时已经找到了 $Aut(G)(i)$ 的强生成器 $S_i$。可以证明，在第 $i$ 次迭代后，集合 $S_{i - 1} = S_i \cup T_{i - 1}$ 是 $Aut(G)(i - 1)$ 的强生成器。对于 $i + 1 \leq j \leq n$ 的每个 $j$，通过神谕查询 “$\langle G, S_i, i, j, \hat{\pi} \rangle \in A?$” 来检查 $Aut(G)(i - 1)$ 中是否存在将 $i$ 映射到 $j$ 的置换。通过合适的神谕查询，后续的前缀搜索会构造出 $Aut(G)(i - 1)$ 中字典序最小的置换 $\hat{\pi}$，使得 $\hat{\pi}(i) = j$。由于 $S_i$ 是 $Aut(G)(i)$ 的强生成器，即 $\langle S_i \rangle = Aut(G)(i)$，所以只会对 $acc_N(q) \leq 1$ 的查询 $q$ 询问 $A$。通过构造，在第 $i$ 次迭代结束时，$T_{i - 1}$ 是 $Aut(G)(i)$ 在 $Aut(G)(i - 1)$ 中的完全右陪集代表系。因此，$S_{i - 1} = S_i \cup T_{i - 1}$ 是 $Aut(G)(i - 1)$ 的强生成器。最终，经过 $n$ 次迭代，确定了 $Aut(G) = Aut(G)(0)$ 的强生成器 $S_0$。

2. 图同构问题（GI）的低阶性质

有如下推论：GI 对于 SPP、PP、C=P 和 ⊕P 是低阶的，即 $SPP^{GI} = SPP$，$PP^{GI} = PP$，$C=P^{GI}