27、随机算法与复杂度类：亚瑟 - 梅林层级与计数类详解

随机算法与复杂度类：亚瑟 - 梅林层级与计数类详解

1. 亚瑟 - 梅林层级介绍

想象一下，强大的巫师梅林和国王亚瑟玩一个游戏，游戏的目标是共同解决某个问题，比如判断一对图 $G$ 和 $H$ 是否不同构。他们轮流行动，每一轮都像是一场博弈。梅林总是试图说服亚瑟，给定的图是非同构的，哪怕实际上它们是同构的。他的行动之一就是给出图非同构的证明。而亚瑟生性多疑，不相信这个狡猾的巫师。虽然他自己无法给出如此有力的证明，但他会通过抛硬币等随机选择来挑战梅林的证明。

从计算模型的角度来看，梅林可以用一个非确定性多项式时间机器（NP 机器）$M$ 表示，亚瑟则用一个随机多项式时间有界的图灵机 $A$ 表示。对于问题实例 $x$ 和要解决的问题 $L$，梅林的一次行动是给出 “$x \in L$” 的证明（或见证），他可以通过模拟 $M(x, y)$ 找到这个证明，其中 $y$ 编码了到目前为止的行动历史。亚瑟的一次行动则由 $A(x, y)$ 的计算决定，这个计算依赖于他的随机选择，$y$ 同样编码了之前的游戏历史。

就像多项式层级可以用交替的（多项式长度有界的）存在量词和全称量词描述一样，亚瑟 - 梅林游戏的思想可以用交替的（多项式长度有界的）存在量词和概率量词来捕捉。存在量词 $\exists$ 代表梅林的一次行动，是一个 NP 计算；概率量词 $\exists^+$ 代表亚瑟的一次行动，是一个有界误差概率多项式时间（BPP）计算。由此，我们得到了一个复杂度类的层级，即亚瑟 - 梅林层级。

亚瑟 - 梅林层级的各级复杂度类定义如下：
| 复杂度类 | 定义 |
| ---- | ---- |
| $A$ | $(\exists^+ \mi