25、随机算法与复杂度类深度解析

随机算法与复杂度类深度解析

1. RANDOM - SAT算法概率分析

在一般情况下，初始步骤后从状态 $i$ 开始，向右最多可移动 $(n - i)/2$ 步。已知向右移动的概率为 $2/3$，向左移动的概率为 $1/3$。此时，我们可以得到状态转移的概率公式：
- $p_i = \binom{n}{\frac{n - i}{2}} (\frac{2}{3})^{\frac{n - i}{2}} (\frac{1}{3})^{n - \frac{n - i}{2}}$

设 $q_i$ 为 $RANDOM - SAT(\phi)$ 在初始步骤到达某个状态 $i \leq n/3$ 的概率，其计算公式为：
- $q_i = \binom{n}{i} \cdot 2^{-n}$

设 $p$ 为 $RANDOM - SAT(\phi)$ 在内层 for 循环中到达最终状态 0 的概率。由于该事件也可能从状态 $j > n/3$ 开始发生，所以有：
- $p \geq \sum_{i = 0}^{n/3} p_i \cdot q_i$

通过熵函数（entropy function）可以对上述求和进行适当近似，同时利用斯特林公式（Stirling’s formula）能对二项式系数进行合适估计，最终可得到 $p$ 的下界至少为（常数因子不计）$(3/4)^n$。

为了使 $RANDOM - SAT(\phi)$ 的错误概率足够小，我们可以执行 $t = \lceil(4/3)^n\rceil$ 次独立试验，每次试验都以新的初始赋值 $\beta$ 开始。每次试验的接受概率至少为 $(3