22、基于NP的层次结构与高低层次体系解析

基于NP的层次结构与高低层次体系解析

1. 交替图可达性问题

交替图可达性问题（AGAP）定义如下：
AGAP = {⟨G, s, t⟩ | G 是一个交替图，s, t ∈ V(G)，且在 G 中 t 可从 s 到达}

定理表明，AGAP 对于 P 是 ≤logₘ - 完全的。证明思路与证明图可达性问题（GAP）对于 NL 是 ≤logₘ - 完全的类似，可推出 AGAP 对于 AL 是 ≤logₘ - 完全的，进而完成证明。

2. NP 内的高低层次体系

在探讨 NP 内的高低层次体系前，先考虑不同集合作为神谕集对确定性多项式时间图灵机（DPOTM）和非确定性多项式时间图灵机（NPOTM）计算能力的影响。
- NP 完全集的影响 ：若 H 是任意 NP 完全集，将其作为神谕集供 DPOTM（记为 M）和 NPOTM（记为 N）使用。由于 H 是 NP 完全的，有 NP ⊆ Pᴴ 且 NPᴺᴾ ⊆ NPᴴ。这意味着使用 H 作为神谕集时，Mᴴ 能解决所有 NP 问题，Nᴴ 能解决所有 Σₚ² 问题。所以，像 H 这样的 NP 完全集是 NP 中最强大（“最高”）的集合。
- P 集合的影响 ：若 L 是 P 中的任意集合，作为 M 和 N 的神谕集。根据相关命题，Pᴾ = P 且 NPᴾ = NP。这表明 L 作为神谕集时，不会比空集为 M 和 N 增加更多计算能力，即 L 对于 M 和 N 作为神谕集是完全无用的。因此，像 L 这样的 P 集合是 NP 中最弱（“最低”）的集合。特别地，假设 P ≠ NP，那么没有 NP 完全集可以在 P 中，即 N