12、计算复杂性理论基础概述

计算复杂性理论基础概述

1. 集合与复杂性类

对于任意布尔公式 $\phi(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ 以及对其变量的任意（部分）赋值 $t = (a_1, a_2, \ldots, a_k)$，设 $\phi_t$ 是将 $a_i$ 代入 $\phi$ 后得到的公式，它仅依赖于剩余变量。定义集合 $\hat{B}$ 如下：
$\hat{B} = { \langle \phi, t \rangle \mid \phi \in B, t 是对 \phi 的（部分）赋值，且 \phi_t 有唯一满足赋值 }$
显然，$\hat{B}$ 属于 UP。若 $\hat{B}$ 也属于 P，那么利用 $\hat{B}$ 和 SAT 的自归约性，可以为 B 中的每个公式构造一个满足赋值，这与 B 满足的第三个条件矛盾，所以 $\hat{B} \notin P$。

为了说明 $\hat{B} \in coUP$，注意到：
$\langle \phi, t \rangle \notin \hat{B} \Leftrightarrow \phi \notin B \vee (\phi \in B \wedge \overline{\phi_t} 有唯一满足赋值)$
其中，$\overline{\phi_t}$ 是通过选取与 $t$ 矛盾的所有赋值从 $\phi$ 得到的公式。例如，若 $t = (a_1, a_2, \ldots, a_k)$，则：
$\overline{\phi_t} = \phi(\neg a_1) \vee \phi(a_1, \neg a_2) \vee \cdots \vee \phi(a_1, a_2, \ldots, a