9、NL完备性问题深度解析

NL完备性问题深度解析

1. 归约的传递性与相关定理

在计算复杂性理论中，归约是一个重要的概念。这里主要讨论了 $\leq_{log}^m$ 归约的传递性。假设有三个集合 $A$、$B$ 和 $C$，存在函数 $f$ 使得 $A \leq_{log}^m B$，函数 $g$ 使得 $B \leq_{log}^m C$，那么可以通过一个新的函数 $h(x) = g(f(x))$ 来证明 $A \leq_{log}^m C$。

具体步骤如下：
- 步骤 1 ：有一个图灵机 $H$ 模拟 $F(x)$ 在工作带 $WT 1$ 上的计算。
- 步骤 2 ：当 $F$ 试图在 $WT 2$ 上写出 $f(x)$ 的输出位时，$H$ 根据两种子情况进行操作：
- 子情况 2.1 ：若 $WT 4$ 以二进制形式包含非零数 $j$，$H$ 将 $WT 4$ 上的计数器减 1，变为 $j - 1$（二进制），同时将 $WT 5$ 上的计数器加 1，变为 $i - j$（二进制），然后继续模拟 $F(x)$，但不在 $WT 2$ 上写入。
- 子情况 2.2 ：若 $WT 4$ 包含 0，由于子情况 2.1 发生了 $i - 1$ 次，$WT 5$ 当前以二进制形式包含 $i - 1$，且 $F$ 正试图在 $WT 2$ 上写出 $f(x)$ 的第 $(i - 1)$ 个输出位。此时，$H$ 将该位写入 $WT 2$，将 $WT 5$ 的内容复制到 $WT 4$，中断 $F(x)$ 的模拟，并开始模拟 $G(f(x))$。 </