37、概率分布函数详解

概率分布函数详解

在概率和统计的领域中，概率分布函数是描述随机变量取值概率的重要工具。不同的概率分布函数具有各自独特的性质和应用场景，下面将详细介绍几种常见的概率分布函数。

1. 正态分布相关

• 归一化常数 ：对于具有精度矩阵 $R$ 的情况，归一化常数 $C_N (R^{-1})$ 定义为：
  $C_N (R^{-1}) \triangleq (2\pi)^{-\frac{D}{2}} |R|^{\frac{1}{2}}$
• 均值 ：$E(x)[x] = \mu$
• 方差 ：$E(x)[(x - \mu)(x - \mu)^{\top}] = \Sigma = R^{-1}$
• 众数 ：$\mu$

2. 拉普拉斯分布

• 概率密度函数（pdf） ：
  $Lap(x|\mu,\beta) \triangleq C_{Lap}(\beta)\exp \left( -\frac{|x - \mu|}{\beta} \right) = C_{Lap}(\beta) \begin{cases} \exp \left( -\frac{x - \mu}{\beta} \right) & \text{if } x \geq \mu \ \exp \left( -\frac{\mu - x}{\beta} \right) & \text{if } x &