2、信号处理中的线性滤波、采样与下采样技术

信号处理中的线性滤波、采样与下采样技术

1. 线性滤波器

在信号处理中，我们常假设滤波器 (h_k(n)) 和 (g_k(n)) 为线性时不变（LTI）系统。对于 LTI 系统 (S)，有以下基本规则：
- 线性性质 ：
- (S (x(n) + y(n)) = S(x(n)) + S(y(n)))
- (S(c · x(n)) = c · S(x(n)))
这意味着我们可以将求和与常数乘法运算提到系统之外。
- 时不变性质 ：(S(x(n + m)) = S (x(n)) (n + m))，即系统的行为与输入信号的时间无关，输入信号的移位会导致输出信号相应移位。

我们可以使用信号的基本“原子”——delta 函数 (\delta(n))，其定义为：
[
\delta(n) =
\begin{cases}
1, & \text{if } n = 0 \
0, & \text{otherwise}
\end{cases}
]

任何信号 (x(n)) 都可以表示为移位 delta 函数 (\delta(n - m)) 的加权和：
[
x(n) = \sum_{m = -\infty}^{\infty} x(m) · \delta(n - m)
]
这里，(x(m)) 可看作移位 delta 函数的固定权重。将 LTI 系统 (S) 应用于该信号，并利用 LTI 规则简化：
[
\begin{align }