35、格与密码学：算法原理、应用与实例分析

格与密码学：算法原理、应用与实例分析

1. 引言

在密码学领域，格理论扮演着至关重要的角色。格相关的算法，如BKZ - LLL和LLL算法，在解决各种密码分析问题中展现出强大的能力。本文将深入探讨这些算法的原理、性能特点，并通过具体的实例展示它们在密码分析中的应用。

2. BKZ - LLL算法

2.1 算法原理

BKZ - LLL算法与传统的LLL算法有所不同。在LLL算法中，通常考虑相邻向量 (v_{k - 1}) 和 (v_{k}) ，而在BKZ - LLL算法中，处理的是长度为 (\beta) 的向量块，即 (v_{k}, v_{k + 1}, \cdots, v_{k + \beta - 1}) 。该算法会用一个KZ约化基替换这个向量块，这个KZ约化基张成的子格与原向量块张成的子格相同。

2.2 性能分析

• 时间复杂度 ：若对维度为 (n) 的格 (L) 使用大小为 (\beta) 的块运行BKZ - LLL算法，该算法保证在不超过 (O(\beta^{c\beta}n^{d})) 步内终止，其中 (c) 和 (d) 是较小的常数。
• 求解精度 ：算法找到的最小向量 (v_{1}) 满足 (|v_{1}| \leq (\frac{\beta}{\pi e})^{\frac{n - 1}{\beta - 1}} \min_{0 \neq v \in L} |v|) 。这表明BKZ - LLL算法能在一定精度范围内解决近似最短向量问题（apprSVP），其精度约为 (\beta^{\frac{n