21、信息论在密码学中的应用与原理

信息论在密码学中的应用与原理

1. 离散对数计算示例

在密码学的计算中，离散对数的求解是一个重要的问题。例如，在有限域 (F_{48611}) 中，有等式 (1913^{470} = 24717^{26510})。
- 首先，计算 (gcd(26510, 48610) = 10)，并且 (970 · 26510 \equiv 10 \pmod{48610})。
- 然后，将等式两边同时取 (970) 次幂，得到 (1913^{470·970} = 1913^{065900} = 19^{38420} = 24717^{10})。
- 由此可得 (10 · log_{19}(24717) \equiv 38420 \pmod{48610})，即 (log_{19}(24717) \equiv 3842 \pmod{4861})。
- 离散对数的可能值是通过将 (3842) 加上 (4861) 的倍数得到的，所以 (log_{19}(24717)) 是集合 ({3842, 8703, 13564, 18425, 23286, 28147, 33008, 37869, 42730, 47591}) 中的一个。
- 为了得到最终解，我们将 (19) 分别取这些值的幂，直到找到等于 (24717) 的结果：
- (19^{3842} = 16580)
- (19^{8703} = 29850)
- (19^{13564} = 23894)
- (19^{18425} = 20794)
- (19^{23286} = 10170)
- (19^{28147} = 32031)
- (19^{33008} = 18