15、整数分解中的平滑数、筛法与关系构建

整数分解中的平滑数、筛法与关系构建

1. 引言

在整数分解问题中，对于形如 $N = pq$（其中 $p$ 和 $q$ 是近似同阶的素数）的“困难”分解问题，有两种已知的最快方法，分别是二次筛法和数域筛法。本文将详细介绍这两种方法，首先从平滑数的概念入手。

2. 平滑数

• 定义 ：若一个整数 $n$ 的所有素因子都小于或等于 $B$，则称 $n$ 为 $B$-平滑数。例如，5-平滑数有 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 20, 24, 25, 27, 30, 32, 36, …；非 5-平滑数有 7, 11, 13, 14, 17, 19, 21, 22, 23, 26, 28, 29, 31, 33, 34, 35, 37, …。
• 计数函数 ：函数 $\psi(X, B)$ 用于计算 $B$-平滑数的个数，即 $\psi(X, B) =$ 满足 $1 < n \leq X$ 的 $B$-平滑整数 $n$ 的数量。例如，$\psi(25, 5) = 15$，因为 1 到 25 之间的 5-平滑数有 15 个，分别是 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 20, 24, 25。

为了评估三步分解方法的效率，需要了解 $\psi(X, B)$ 在 $X$ 和 $B$ 较大时的行为。Canfield、Erdős 和 Pomerance 证明了一个重要定理：

定理 3.42 ：固定 $0