5、密码学基础：对称与非对称密码系统解析

密码学基础：对称与非对称密码系统解析

1. 有限域与原根

在密码学中，有限域 (F_p) 有着重要的地位。当 (p) 很大时，有限域 (F_p) 有不少原根。精确公式表明，(F_p) 恰好有 (\varphi(p - 1)) 个原根，其中 (\varphi) 是欧拉函数。例如，对于 (F_{29})，其原根的完整列表为 ({2, 3, 8, 10, 11, 14, 15, 18, 19, 21, 26, 27})，这与 (\varphi(28) = 12) 相符。更一般地，如果 (k) 整除 (p - 1)，那么 (F_p^*) 中恰好有 (\varphi(k)) 个阶为 (k) 的元素。

2. 计算机时代前的密码学

2.1 早期密码学的起源与发展

密码学的起源已淹没在历史的迷雾中，但推测在人们开始使用书面交流后不久，秘密书写就出现了。早期有记载的密码使用可追溯到罗马时代，如尤利乌斯·恺撒的移位密码。此后，许多文明开始使用替换密码（每个字母被另一个字母或符号替换）和换位密码（字母顺序被重新排列）。

2.2 密码分析的发明

密码分析，即不事先知道密钥就能解密消息的艺术，出现得较晚。现存最古老的相关文本是 14 至 15 世纪阿拉伯学者所著，其中不仅描述了简单的替换和换位密码，还首次记录了同音替换密码（一个明文字母可以由多个可能的密文字母表示）。更重要的是，这些文本包含了严肃的密码分析方法的首次描述，如使用字母频率计数和某些字母对相邻出现的可能性。然而，到 17 世纪，这些知识大多似乎已失传。

2.3 欧洲密码学的发展

随着欧洲从中世纪崛起，意大利等地的政治国家需要安全