欧几里得算法与拓展欧几里得

欧几里得算(辗转相除法)

算法描述

设 a>=b
$$a÷b=k\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot r$$
a和b的最大公约数等于b和r的最大公约数。
gcd(a,b)=gcd(b,a%b),当b为0时，a为(a,b)最大公约数

C++实现

//递归方式
int gcd(int a,int b)
{
    if(b==0) return a;
    else return gcd(b,a%b);
}

//非递归方式
while(b!=0)
{
    int r=a%b;
    a=b;
    b=r;
}
cout<<a;

定理证明

1. 证明a,b的公约数和 b,r的公约数相同,就能证明最大公约数相同
   1. 设a = kb+r (a>=b)。由假设可知，r=a mod b。
   2. 设d为a和b的任意公约数。
   3. 变形可得到式子：r=a-kb,等式两边同除d,可得到式子： r/d = a/d - kb/d =m。
   4. 因为d为a,b的公约数，故a/d 为整数，b/d为整数，故r/d也为整数,可推出d为r的约数。故d是b和r的约数。
   5. 所以，a和b的任意公约数d,也是b和a%b的公约数。
   6. 设 d 是 b,a%b的公约数，则d是b和a-kb的公约数
   7. 设b=xd, a-kb=yd（d是他们的约数，他们则可写成d的倍数形式）。则存在a=kb+yd;
   8. 将等式两边同除d,a/d =kb/d + y=m。y是整数，d是b的约数，所以m未整数，即d是a的约数。
   9. 所以d也是a和b的公约数
   10. 综上，(a,b)和(b,a%b)的公约数集合相同，证得(a,b)和(b,a%b)的公约数是一样的
   11. 所以最大公约数也相同，证明gcd(a,b)=gcd(b,a%b)

拓展欧几里得算法

定理：

给予两个整数a、b,必存在整数x,y使得ax + by = gcd(a,b)。（贝祖等式）
拓展欧几里得算法就是再辗转相除法的基础上，求的改等式的通解。
x=x0+(b/gcd(a,b)) * t
y=y0-(a/gcd(a,b)) * t
我们知道：a%b = a - (a/b) * b,所以我可以进一步得到
gcd(a,b) = gcd(b, a%b) :
gcd(a%b)=b * x1 + ( a - (a/b)* b)* y1
=b x1 + ay1-(a/b)by1
= a * y1 +b*(x1-a/by1)
观察可以发现，x=y1,y=x1-a/b y1
所以我们只要在求解欧几里得的时候同时加上对x,y的更新即可。考虑边界情况，当b=0时，显然此时x=1,y=0;

代码实现

int ex_gcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
   if(b==0) {x=1;y=0;return a;}
   int ans=ex_gcd(b,a%b,x,y);
   int t=x;
   x=y;
   y=t-a/b*y;
   return ans;
 }
 
 //精简
 int ex_gcd(int a,int b,int &x,int &y)
 {
   if(b==0) {x=1;y=0;return a;}
   int ans=ex_gcd(b,a%b,y,x);
   y-=(a/b)*x;
   return ans;
 }