cht讲算法——数论——欧几里得算法与拓展欧几里得算法（1）

欧几里得算法与拓展欧几里得算法（1）——数论中的beatsaber

哈罗大家好我是cht。

今天正式开死数论部分的讲解！

一、欧几里得算法的思路

众所周知，beatsaber是一个yxc巨佬喜爱的VR游戏。
（大佬：烂人你怎么又开始扯游戏了
好了好了一会大家就知道了。

1-1欧几里得算法用来解决什么东西

其实朴素欧几里得算法最大的用途就是：

求最大公因最小公倍数。

这里要先介绍一点点小东西：
$\frac{a\times b}{(a,b)}=[a,b]$
简明一点，就是：
$a\times b÷a与b的最大公约数=a与b的最小公倍数$
证明如下：
令 d = ( A , B ) ; 则 a = A d b = B d ( a , b ) = 1 可 列 出 短 除 ： d ∣ A , B ⋅ ⋅ — — ⋅ ⋅ a , b ( M a r k d o w n 并 没 有 短 除 功 能 此 时 把 A 与 B 分 解 质 因 数 ： A = p 1 α 1 × p 2 α 2 × p 3 α 3 × ⋯ B = q 1 β 1 × q 2 β 2 × q 3 β 3 × ⋯ d 必 然 包 含 在 其 中 一 个 因 子 里 ， 不 妨 设 : d = p x α x = q y β y ∵ d = p x α x = q y β y ∴ a = A ÷ p x α x , b = B ÷ q y β y 所 以 可 以 推 出 ： [ A , B ] = a × b ( a , b ) 令d = (A, B);\\ 则 \displaystyle a = \frac Ad\\ \displaystyle b = \frac Bd\\ (a, b) = 1\\ 可列出短除：\\ d|A, B\\ ··——\\ ··a, b\\ (Markdown并没有短除功能\\ 此时把A与B分解质因数：\\ A = p_1 ^ {\alpha_1} \times p_2 ^ {\alpha_2} \times p_3 ^ {\alpha_3} \times \cdots\\ B = q_1