欧几里得与扩展欧几里得(函数实现)

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本文详细介绍了欧几里得算法及其扩展版本，用于求解两个整数的最大公约数，并通过贝祖定理展示了如何找到满足特定线性组合的整数解。同时提供了算法的代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

欧几里得算法

任务 : 求两个数a,b的最大公约数 gcd(a,b)

补充: 贝祖定理

证明: 在这里插入图片描述贝祖定理是代数几何中一个定理，其内容是若设a,b是整数，则存在整数x,y，使得ax+by=gcd（a,b），(a,b)代表最大公因数，则设a,b是不全为零的整数，则存在整数x,y，使得ax+by=(a，b)。

当 a >= b时,gcd(a,b) = gcd(b,a-b).
上面的减法易超时,所以一般用 gcd(a,b) = gcd(b,a mod b).

代码实现一波

int gcd(int a, int b)
{
return b == 0 ? a : gcd(b,a%b);
}

扩展欧几里得算法

目的: 求出A,B的最大公约数,且求出X,Y满足AX+BY= gcd(A,B)

推一下
当 B = 0时, 有X = 1, Y = 0 成立
当B > 0时

gcd(A,B) = gcd(B , A mod B)

递归一波
先求出X’ Y’
满足 : BX‘ + (A - A/B * B) Y’ = gcd(A,B)

化简得
X = Y’
Y = X’ - A/B * Y

应用 :
输入 a,b,&x,&y
输出 a,b的最大公约数

调用函数后 x,y 满足 ax + by = gcd(a,b)

代码函数实现

int exgcd(int a, int b ,int &x, int &y)
{
    if(b == 0)
    {
        x = 1;
        y = 0;
        return  a;
    }
    else
    {
        int r = exgcd(b, a%b, y, x);
        y -= x * (a / b);
        return  r;
    }
}