26、积分与统计推断的一些概念和性质

积分与统计推断的一些概念和性质

在数学的积分与统计推断领域，有许多重要的概念和性质值得深入探讨。下面将详细介绍积分的相关性质、中心极限定理以及统计推断的方法。

积分的性质

有界变差函数

有界变差函数是积分理论中的一个重要概念。设 (f(x)) 是定义在 ([a, b]) 上的有限函数，对 ([a, b]) 进行分割 (x_0 = a < x_1 < x_2 < \cdots < x_n = b)，定义 (V = \sum_{i = 0}^{n - 1} |f(x_{i + 1}) - f(x_i)|)，(V) 的上确界称为 (f(x)) 在 ([a, b]) 上的全变差，记为 (V_a^b f(x))。当 (V_a^b f(x) < \infty) 时，(f(x)) 称为 ([a, b]) 上的有界变差函数。

有界变差函数具有以下重要性质：
|性质|描述|
| ---- | ---- |
|性质1|单调函数是有界变差函数。|
|性质2|有界变差函数是有界的。|
|性质3|两个有界变差函数的和、差、积仍然是有界变差函数。|
|性质4|若 (f(x)) 和 (g(x)) 都是有界变差函数，且 (|g(x)| \geq d > 0)，则 (\frac{f(x)}{g(x)}) 也是有界变差函数。|
|性质5|若 (f(x)) 是 ([a, b]) 上的有限函数，且 (a < c < b)，则 (V_a^b(f) = V_a^c(f) + V_c^b(f))。|
|性质6|函数 (f(x)) 有界变差的充要条件是 (f(x)) 可以表示为