38、线性方程组求解算法：高斯消元与带状结构系统

线性方程组求解算法：高斯消元与带状结构系统

1. 高斯消元法

1.1 消除因子计算与分布

在高斯消元法中，消除因子的计算与分布是重要步骤。首先，使用 compute_elim_fact_loc() 函数计算处理器所拥有元素的消除因子$l_{ik}$，并将其存储在 elim_buf 缓冲区中。接着，通过单播操作将消除因子发送到同一行组$R_{op}(q)$的所有处理器，使用相应的通信器$comm(R_{op}(q))$，根处理器$q$的编号由 rank(q, G) 函数确定。

1.2 矩阵元素计算

矩阵元素的计算由 compute_local_entries() 函数完成，回代过程由 backward_substitution() 函数执行，这与特定伪代码类似，但需要更多通信，且几乎所有集体通信操作都在处理器子集上进行。

1.3 并行执行时间分析

并行执行时间分析使用反映计算和通信时间的函数，这些函数取决于并行机器的特性。为简化分析，忽略主元选择和回代过程，将高斯消元的第4、5、5a和6阶段分开考虑，因为每个阶段后都有屏障同步。

1.3.1 通信时间

对于通信阶段，使用描述集体通信操作时间的公式，将通信时间表示为处理器数量和消息大小的函数。在高斯消元（无主元选择）中，第4和5a阶段使用单播操作进行通信，单播通信时间记为$T_{sb}(p, m)$。
|阶段|通信操作|通信时间|
|----|----|