矩阵连乘问题

Description

由不同加括号顺序所带来的矩阵乘积的代价不同，考虑三个矩阵的链(A_1,A_2,A_3)的问题。假设三个矩阵的维数分别为10∗10010∗100，100∗5100∗5，5∗505∗50。如果按((A1A2)A3)((A1​A2​)A3​)规定的次序来做乘法，求105105的矩阵乘积A1A2A1A2要做10∗100∗5=500010∗100∗5=5000次的标量乘法运算，再乘上A3A3​还要做10∗5∗50=250010∗5∗50=2500次标量乘法，总共75007500次标量乘法运算。如果按(A1(A2A3))(A1​(A2​A3​))的次序来计算，则为求1005010050的矩阵乘积A2A3A2​A3​要做100∗5∗50=25000100∗5∗50=25000次标量乘法运算，再乘上A1A1​还要10∗100∗50=5000010∗100∗50=50000次标量乘法，总共7500075000次标量乘法运算。因此，按第一种运算次序进行计算就要快到1010倍。

矩阵链乘法问题可表述如下:给定nn个矩阵｛A1,A2,…,An｝｛A1​,A2​,…,An​｝，其中，Ai与Ai+1Ai​与Ai+1​是可乘的，(i=1,2,…,n−1)(i=1,2,…,n−1)。用加括号的方法表示矩阵连乘的次序，不同的计算次序计算量（乘法次数）是不同的，找出一种加括号的方法，使得矩阵连乘的次数最小。

Input

输入一个nn表示有nn个矩阵

第二行输入n+1n+1个数字，其中第ii个数字和第i+1i+1个数字合成一个矩阵。

Output

输出一个数且不带任何空格回车，表示最小运算次数。

**注意，本OJ不支持行末空格回车特判**

Sample Input 1 

3
10 100 5 50

Sample Output 1

7500

矩阵下标从0开始 ：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <limits.h>

using namespace std;

int matrixChainOrder(const vector<int>& p) {
    int n = p.size() - 1;  // 矩阵的数目 
    vector<vector<int>> dp(n, vector<int>(n, INT_MAX));

    // The cost of multiplying one matrix is 0
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        dp[i][i] = 0;
    }

    // l 表示当前考虑的矩阵链的长度（从2到n）
    for (int l = 2; l <= n; ++l)  
        for (int i = 0; i <= n - l; ++i) //i确定当前矩阵链的起始位置。
		{
            int j = i + l - 1;			//j为当前链的结束位置。
            for (int k = i; k < j; ++k) //k 用于尝试所有可能的分割点，计算通过 k 分割的最小乘法次数，并更新 dp[i][j]
			{
                int q = dp[i][k] + dp[k+1][j] + p[i] * p[k+1] * p[j+1];
                if (q < dp[i][j]) dp[i][j] = q; //q 代表了将矩阵链从 i到 j 通过在 k 处分割所需的总乘法次数
            }
        }

    return dp[0][n-1];
}

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    vector<int> p(n + 1);

    for (int i = 0; i <= n; ++i) {
        cin >> p[i];
    }

    cout << matrixChainOrder(p) << endl;

    return 0;
}

矩阵下标从1开始: 

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

int MatrixChain(const vector<int>& p)
{
	int n = p.size() - 1; //矩阵个数 
	vector<vector<int> > dp(n + 1,vector<int> (n + 1,INT_MAX));
	
	for(int i = 1; i <= n;i ++) dp[i][i] = 0; //单个矩阵的乘次数为0
	
	for(int l = 2; l <= n; l++)  //矩阵链长度 
	{
		for(int i = 1; i <= n - l + 1; i ++) //矩阵链的起点，由于长度为l,所以i得小于 
		{
			int j = i + l - 1; // 矩阵链的终点 
			for(int k = i; k < j ; k ++) //分割点
			{
				//dp[i][j]表示从矩阵i到矩阵j的连乘最少次数，矩阵的下标从1开始
				//递推公式dp[i][j] = dp[i][k] + dp[k+1][j] + p[i-1]*p[k]*p[j] 
				int q = dp[i][k] + dp[k+1][j] + p[i-1]*p[k]*p[j];
				if(q < dp[i][j]) dp[i][j] = q;
			 } 
		}
	}
	
	return dp[1][n];
}
int main()
{
	int n,a;
	cin >> n;
	vector<int> p(n+1);				//存储矩阵的维数 
	
	//矩阵i的维数用pi-1和pi来表示 
	for(int i = 0; i <= n ; i ++) cin >> p[i];
	cout << MatrixChain(p) << endl;

//	for(auto i : p) cout << i << " "; 
	return 0;
}