Description
由不同加括号顺序所带来的矩阵乘积的代价不同,考虑三个矩阵的链(A_1,A_2,A_3)的问题。假设三个矩阵的维数分别为10∗10010∗100,100∗5100∗5,5∗505∗50。如果按((A1A2)A3)((A1A2)A3)规定的次序来做乘法,求105105的矩阵乘积A1A2A1A2要做10∗100∗5=500010∗100∗5=5000次的标量乘法运算,再乘上A3A3还要做10∗5∗50=250010∗5∗50=2500次标量乘法,总共75007500次标量乘法运算。如果按(A1(A2A3))(A1(A2A3))的次序来计算,则为求1005010050的矩阵乘积A2A3A2A3要做100∗5∗50=25000100∗5∗50=25000次标量乘法运算,再乘上A1A1还要10∗100∗50=5000010∗100∗50=50000次标量乘法,总共7500075000次标量乘法运算。因此,按第一种运算次序进行计算就要快到1010倍。
矩阵链乘法问题可表述如下:给定nn个矩阵{A1,A2,…,An}{A1,A2,…,An},其中,Ai与Ai+1Ai与Ai+1是可乘的,(i=1,2,…,n−1)(i=1,2,…,n−1)。用加括号的方法表示矩阵连乘的次序,不同的计算次序计算量(乘法次数)是不同的,找出一种加括号的方法,使得矩阵连乘的次数最小。
Input
输入一个nn表示有nn个矩阵
第二行输入n+1n+1个数字,其中第ii个数字和第i+1i+1个数字合成一个矩阵。
Output
输出一个数且不带任何空格回车,表示最小运算次数。
**注意,本OJ不支持行末空格回车特判**
Sample Input 1
3 10 100 5 50
Sample Output 1
7500
矩阵下标从0开始 :
#include <iostream>
#include <vector>
#include <limits.h>
using namespace std;
int matrixChainOrder(const vector<int>& p) {
int n = p.size() - 1; // 矩阵的数目
vector<vector<int>> dp(n, vector<int>(n, INT_MAX));
// The cost of multiplying one matrix is 0
for (int i = 0; i < n; ++i) {
dp[i][i] = 0;
}
// l 表示当前考虑的矩阵链的长度(从2到n)
for (int l = 2; l <= n; ++l)
for (int i = 0; i <= n - l; ++i) //i确定当前矩阵链的起始位置。
{
int j = i + l - 1; //j为当前链的结束位置。
for (int k = i; k < j; ++k) //k 用于尝试所有可能的分割点,计算通过 k 分割的最小乘法次数,并更新 dp[i][j]
{
int q = dp[i][k] + dp[k+1][j] + p[i] * p[k+1] * p[j+1];
if (q < dp[i][j]) dp[i][j] = q; //q 代表了将矩阵链从 i到 j 通过在 k 处分割所需的总乘法次数
}
}
return dp[0][n-1];
}
int main() {
int n;
cin >> n;
vector<int> p(n + 1);
for (int i = 0; i <= n; ++i) {
cin >> p[i];
}
cout << matrixChainOrder(p) << endl;
return 0;
}
矩阵下标从1开始:
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int MatrixChain(const vector<int>& p)
{
int n = p.size() - 1; //矩阵个数
vector<vector<int> > dp(n + 1,vector<int> (n + 1,INT_MAX));
for(int i = 1; i <= n;i ++) dp[i][i] = 0; //单个矩阵的乘次数为0
for(int l = 2; l <= n; l++) //矩阵链长度
{
for(int i = 1; i <= n - l + 1; i ++) //矩阵链的起点,由于长度为l,所以i得小于
{
int j = i + l - 1; // 矩阵链的终点
for(int k = i; k < j ; k ++) //分割点
{
//dp[i][j]表示从矩阵i到矩阵j的连乘最少次数,矩阵的下标从1开始
//递推公式dp[i][j] = dp[i][k] + dp[k+1][j] + p[i-1]*p[k]*p[j]
int q = dp[i][k] + dp[k+1][j] + p[i-1]*p[k]*p[j];
if(q < dp[i][j]) dp[i][j] = q;
}
}
}
return dp[1][n];
}
int main()
{
int n,a;
cin >> n;
vector<int> p(n+1); //存储矩阵的维数
//矩阵i的维数用pi-1和pi来表示
for(int i = 0; i <= n ; i ++) cin >> p[i];
cout << MatrixChain(p) << endl;
// for(auto i : p) cout << i << " ";
return 0;
}