傅里叶变换(书上居然写错了，作者不懂居然还能写这么多。)

a03910

已于 2024-04-26 10:20:04 修改

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文章标签：傅里叶分析

于 2024-04-13 21:04:09 首次发布

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/a03910/article/details/137720538

本文讨论了离散函数（特别是取样后的函数）的傅里叶变换特性，指出无限次取样后的带限函数傅里叶变换是周期的，而有限次取样则可能导致非带限性。同时质疑了书中关于离散傅里叶变换的部分内容，并强调了实际信号处理中连续性和离散性的关系。

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取样这里我需要说明一下，如何理解公式4.3-1。这个取样公式表示无限次取样，在间隔为 $\Delta$ T的时候。如何理解公式4.3-2呢？这个公式是在说fk是常数，而不是函数。

现在看公式4.3-5。这个公式中函数是以(1/ $\Delta$ T)为周期的周期函数吗？只要计算F~(u+1/ $\Delta$ T)就会发现确实是以1/ $\Delta$ T为周期。但是这个公式明显给出了一个问题，就是F~的每个函数值都是在F中取了无数个点相加的。在图4.6a,b,c,d中，恰好函数F在区间(-umax,uamx)之外为零。所有可以看作是有限和，理想的情况是在一个周期之内只有一个分量函数值，如图b,c。d是在重叠部分是两个函数值相加，这里正好是水平线段。

现在我来计算一下公式4.3-12吧。这本书是实话写的啰嗦，而且不清楚。

这里需要计算h(t)和f~(t)。

f~(t)书上就是公式4.3-1。

h(t)这个书上没有计算。但是书上计算了H(t)的傅里叶变换。

类比这个图4.4的计算过程，进行计算发现h(t)= $AW*\sin (\pi tW)/(\pi tW)$ ，其中由于W/2=umax, A=ΔT, 但是umax=1/(2ΔT)，所以w=1/ΔT。所以h(t)= $sinc (\pi t/\Delta T)$ 。

所以f(t)= $\sum_{n=-\infty }^{n=+\infty }\int_{-\infty}^{+\infty }h(\tau )*f(t-\tau)*\delta (t-\tau-n\Delta T)d\tau$ = $\sum_{n=-\infty }^{n=+\infty }h(t-n\Delta T)*f(n\Delta T)$ = $\sum_{n=-\infty }^{n=+\infty }h((t-n\Delta T)/\Delta T)*f(n\Delta T)$

这正是书上的公式4.3-12。上面的第二个等式是根据冲激的取样特性，这是定义的性质，在公式4.2-9和4.2-10给出了。

本来已经是无限次取样了在 $\Delta$ T的时间间隔中，用n表示，这里把取样函数傅里叶变换之后进行了有限次取样，在0-1/ $\Delta$ T的时间内取样M次。先看看公式4.4-2，这也是无限次累加了，fn是常数，书上说是函数是错误的。关键的问题是如果排除为零的可能，这里的无限次累加是不是有限次累加呢？但是我发现就是无限次累加的。

这样的话，公式4.4-4出现的就很突然，因为如果把fn看做是只有M个点离散函数，进行傅里叶变换，得到Fm确实就是公式4.4-4。根本不需要前面的那么多计算，书上做了这么多计算是为什么呢？我认为作者可能自己也不懂，胡乱拼接的。实际上算法导论中的傅里叶变换的定义更加合理，按照算法导论的内容理解公式4.4-4，更直观。（我很想贴算法导论的内容，但是已经超出了本书的范围，那就不管了，我只是提醒这里写错了，《算法导论 Tomas H.Cormen....》的内容写的不错。）

总结以下内容: 离散定义域但是定义域无界的函数的傅里叶变换是周期函数。如果取样之前的函数f是带限函数，那么无限次取样之后的离散函数的傅里叶变换是周期函数，并且可以通过傅里叶反变换恢复为f。

而有限次取样之后的离散函数的傅里叶变换也是周期函数，但是有限次取样的离散函数不是带限的，所以不能通过傅里叶变换恢复为f。

那么离散傅里叶变换是怎么回事呢？这只是离散函数对应了离散函数，不能实现f的恢复。那么这个有什么作用？暂且不管这个，但是书上的这个内容确实是写错了。

书上这里写错了。而且计算过程也错了。是icosa*sinb+icos*sina。之所以会消去为零，是因为公式4.6-13。

书上另一个地方我不明白是怎么回事，因为表4.1的函数看起来是以原点为对称中心的，但是离散函数的中心却在其他的位置，这就不知道到时候它如何使用表4.1。

但是仔细观察公式4.6-12和例4.10发现，其实有限次的取样函数，即是离散点列f（x），假设共有M个点，只要按照M为周期延拓f(x)，那么f（x+M）=f(x)。所以f(x)奇函数则有f（x）=f(-x)=f(M-x),

f(x)是偶函数则有f（x）=-f(-x)=-f(M-x)，这样并没有改变奇函数和偶函数的定义，那么对于表4.1看起来又是适用了。但是问题无限延拓的周期函数的傅里叶变换和原来的函数的傅里叶变换一样吗？这就是离散傅里叶变换的意义了，公式4.4-6和4.4-7说明了经过傅里叶变换和反变换之后得到的无限周期的延拓离散函数。所以是一样的。

我一直在想一个问题，所谓的离散函数，指的是采样来说的，实际上电位一直在时间上是连续的，那么傅里叶变换之后，得到的还是在频域上的连续函数。如果采样不是无限的，那么F(w)还是无限的。所以，这确实是和离散傅里叶变换不同。