卷积和傅立叶变换

卷积和傅立叶变换

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什么是卷积

卷积的数学定义

$f(x)$和$g(x)$是两个连续函数，那么卷积定义为：

$$\begin{equation} h(x)=(f*g)(x)=\int_{-\infty}^{\infty}f(u)g(x-u)du \end{equation}$$
若 $f[n]$和 $g[n]$是两个数列，那么卷积定义为：
$$\begin{equation} h[n]=(f*g)[n]=\sum_{u=-\infty}^{\infty}f[u]g[n-u] \end{equation}$$
$h(x)$称为$g(x)$的卷积。 $f$称为卷积核， $g$是被卷函数（或者数列）。在图像处理中，通常在推导公式时使用连续卷积，因为它有更好的数学性质。而在实际编程中，通常用离散卷积，因为计算机只能处理离散值。卷积并非图像处理的专有概念，它是从泛函分析、信号处理中引入的一个概念，是其他领域早就充分研究的一个概念。

卷积的计算

先用离散卷积公式举个例子，假设$f$和$g$的定义如下：

$$f=\{1,1,1\}\\g=\{2,3,2,6\}$$
用离散卷积计算如下：

h[n]=(f∗g)[n]=f[1]g[n−1]+f[2]g[x−2]+f[3]g[n−3]h[1]=(f∗g)[1]=f[1]g[1−1]+f[2]g[1−2]+f[3]g[1−3]=unkownh[2]=(f∗g)[2]=f[