CodeForces ~ 55D ~ Beautiful numbers （数位DP + 离散化）

最新推荐文章于 2025-01-04 16:33:11 发布

张松超

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分类专栏：【数位dp】

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本文介绍了一种高效算法来解决美丽数字问题，即找出指定区间内的所有美丽数字。美丽数字定义为能被其每位数字整除的数。通过记忆化搜索和状态压缩技巧，实现了快速计算。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意

T次询问，每次循问[L,R]区间内有多少个美丽数字？美丽数字：该数字可以被它各个位上的数字整除。

思路

L~R的美丽数字个数，我们可以转化为1~R的美丽数字个数减去 1~(L-1)的美丽数字个数
①该数字可以被它各个位上的数字整除 ②该数字可以被它各个位上的数字的LCM整除，①和②互为充要条件
假设数字 $x$ 是美丽数字，那么 $x\%LCM_x = 0$ ，因为 $x$ 太大，所以想办法把 $x$ 变小一点。2520为（1~9的LCM），由于 $2520 ≡0$ (mod $LCM_x$ )，所以 $x\%2520\ ≡ x$ (mod $LCM_x$ )，所以我们记录 $x\%2520和LCM_x$ 即可判断x是否为美丽数字。而 $x\%2520$ ，可以通过大数取模的那种方式计算。
定义dp[pos][lcm][mod]为前pos位，最小公倍数为lcm，且选的数字%2520为mod的状态。
dp数组大小为dp[18][2520][2520]依旧太大，可以想到1~9的任意组合的 $lcm$ 是比较离散的，打表得到只有48个，所以我们对lcm进行离散化，dp数组大小变为dp[18][48][2520]，ok了。
由于要一位一位的去选，dp方程不太好写，所以选择写记忆化搜索。首先需要记录pos(选到了第几位)，lcm(该数字每一位的最小公倍数)，mod(该数字%2520的值)，当选完最后一位时，如果 $mod\%lcm=0$ ，证明该数字是一个美丽数字。由于我们需要求得是不超过某个数字X的美丽因子个数，所以记忆化搜索时加一个状态flag，表示之前的位是否选到了上限，比如327，如果前两位选了32，那么第三位就只能选1~7，如果第一位没选3或第二位没选2，那么第三位就可以选0~9。
那么有哪些状态是重复的需要记忆化呢，不难想到就是[pos位（每一位0~9随便选）][lcm][mod]。

注意各个位的LCM是指非0位。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int MOD = 2520;//1~9的最小公倍数
LL dp[20][50][2525], cnt, HASH[2525];
string s;
LL dfs(int pos, int lcm, int mod, bool flag)
{
    if (pos == -1) return mod%lcm == 0;
    if (!flag && dp[pos][HASH[lcm]][mod] != -1) return dp[pos][HASH[lcm]][mod];//状态出现过
    LL ans = 0;
    int E = flag?int(s[pos]-'0'):9;//当前位上限
    for (int i = 0; i <= E; i++)
        ans += dfs(pos-1, i?lcm*i/__gcd(lcm, i):lcm, (mod*10+i)%MOD, flag&&i==E);
    if (!flag) dp[pos][HASH[lcm]][mod] = ans;//记录dp[pos位任意组合][lcm][mod]
    return ans;
}
LL solve(LL x)
{
    s = to_string(x); reverse(s.begin(), s.end());
    return dfs(s.size()-1, 1, 0, 1);
}
int main()
{
    memset(dp, -1, sizeof(dp));
    for (int i = 1; i <= MOD; i++) if (MOD%i == 0) HASH[i] = cnt++;

    int T; scanf("%d", &T);
    while (T--)
    {
        LL l, r; scanf("%lld%lld", &l, &r);
        printf("%lld\n", solve(r) - solve(l-1));
    }
    return 0;
}
/*
2
1 9
12 15
*/