牛客网 ~ 2018年湘潭大学程序设计竞赛G ~ 又见斐波那契（矩阵快速幂）

最新推荐文章于 2024-10-19 17:14:01 发布

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本文详细解析了如何使用矩阵快速幂的方法高效解决一类特殊的斐波那契数列问题，该问题中每一项由前两项及多项式构成。通过构造特定的6x6矩阵并进行快速幂运算，实现对大规模数值的有效计算。

题意

在这里插入图片描述

思路

显然就是矩阵快速幂，我们只需要构造6*6的矩阵使得
$F[i-1] + f[i-2] + i^3 + i^2 + i + 1$ 乘一次可以转移到 $F[i] + f[i-1] + (i+1)^3 + (i+1)^2 + (i+1) + 1$
可以造出加速矩阵如下：
1 1 1 1 1 1
1 0 0 0 0 0
0 0 1 3 3 1
0 0 0 1 2 1
0 0 0 0 1 1
0 0 0 0 0 1

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MOD = 1e9 + 7;
typedef long long LL;
struct Matrix
{
    int r, c;
    LL m[10][10];
    Matrix () {};
    Matrix (int r, int c)
    {
        this->r = r; this->c = c;
        memset(m, 0, sizeof(m));
    }

    Matrix operator + (Matrix b) const // a和b均为r * c的矩阵
    {
        Matrix ans(r, c);
        for (int i = 0; i < r; i++)
        {
            for (int j = 0; j < c; j++)
            {
                ans.m[i][j] = (m[i][j] + b.m[i][j]) % MOD;
            }
        }
        return ans;
    }

    Matrix operator * (Matrix b) const // 要求a.c == b.r
    {
        Matrix ans(r, b.c);
        for (int i = 0; i < ans.r; i++)
        {
            for (int j = 0; j < ans.c; j++)
            {
                for (int k = 0; k < c; k++)
                {
                    ans.m[i][j] += m[i][k] * b.m[k][j] % MOD;
                    ans.m[i][j] %= MOD;
                }
            }
        }
        return ans;
    }

};
Matrix qpow (Matrix a, LL b) // a必须是方阵(即r==c)
{
    Matrix res(a.r, a.r);
    for (int i = 0; i < res.r; i++) res.m[i][i] = 1; //初始化为单位方阵
    while (b)
    {
        if (b & 1) res = res * a;
        a = a * a;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}

int main()
{
    int T; scanf("%d", &T);
    while (T--)
    {
        LL n; scanf("%lld", &n);
        Matrix B(6, 6), A(6, 1);

        B.m[0][0] = 1; B.m[0][1] = 1; B.m[0][2] = 1; B.m[0][3] = 1; B.m[0][4] = 1; B.m[0][5] = 1;
        B.m[1][0] = 1; B.m[1][1] = 0; B.m[1][2] = 0; B.m[1][3] = 0; B.m[1][4] = 0; B.m[1][5] = 0;
        B.m[2][0] = 0; B.m[2][1] = 0; B.m[2][2] = 1; B.m[2][3] = 3; B.m[2][4] = 3; B.m[2][5] = 1;
        B.m[3][0] = 0; B.m[3][1] = 0; B.m[3][2] = 0; B.m[3][3] = 1; B.m[3][4] = 2; B.m[3][5] = 1;
        B.m[4][0] = 0; B.m[4][1] = 0; B.m[4][2] = 0; B.m[4][3] = 0; B.m[4][4] = 1; B.m[4][5] = 1;
        B.m[5][0] = 0; B.m[5][1] = 0; B.m[5][2] = 0; B.m[5][3] = 0; B.m[5][4] = 0; B.m[5][5] = 1;

        A.m[0][0] = 1; A.m[1][0] = 0; A.m[2][0] = 8; A.m[3][0] = 4; A.m[4][0] = 2; A.m[5][0] = 1;

        A = qpow(B, n - 1) * A;
        printf("%lld\n", A.m[0][0]);
    }
    return 0;
}
/*
4
1
2
3
100
*/