A - Beautiful numbers-取模数位DP

最新推荐文章于 2021-01-13 22:23:33 发布

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分类专栏： DP

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本文介绍了一种使用数位动态规划(DP)的方法来解决CodeForces上的优美数问题。通过保存每一步的最小公倍数和模2520的值，巧妙地解决了内存限制的问题。离散化处理最小公倍数后，优化了DP数组大小，成功在限定时间内求解。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

A - Beautiful numbers
CodeForces - 55D
题意：It seems to him that a positive integer number is beautiful if and only if it is divisible by each of its nonzero digits
在他看来，正整数是优美的，当且仅当它是由它的每个非零数字整除时。
zyl思路：数位DP时我们只需保存前面那些位的最小公倍数就可进行状态转移，到边界时就把所有位的lcm求出了，为了判断这个数能否被它的所有数位整除，我们还需要这个数的值，显然要记录值是不可能的，其实我们只需记录它对2520的模即可，这样我们就可以设计出如下数位DP：dfs(pos,mod,lcm,f),pos为当前位，mod为前面那些位对2520的模，lcm为前面那些数位的最小公倍数，f标记前面那些位是否达到上限，这样一来dp数组就要开到19*2520*2520，明显超内存了，考虑到最小公倍数是离散的，1-2520中可能是最小公倍数的其实只有48个，经过离散化处理后，dp数组的最后一维可以降到48，这样就不会超了

#include <iostream>
#include <cstring>

using namespace std;

long long dp[40][2530][50];
int ls[3000],cnt=0;
int f[30],k;

int gcd(int a,int b)
{
    return a==0 ? b:gcd(b%a,a);
}

long long dfs(int pos,int mod,int lcm,bool flag)
{
    if(pos==0)return mod%lcm==0;
    if(!flag&&dp[pos][mod][ls[lcm]]!=-1)return dp[pos][mod][ls[lcm]];
    int maxx=9;
    if(flag)maxx=f[pos];
    long long ans=0;
    for(int i=0; i<=maxx; i++)
    {
        int modd=(mod*10+i)%2520;
        int lcmm=lcm;
        if(i!=0)
        {
            lcmm=lcm/(gcd(lcm,i))*i;
        }
        ans+=dfs(pos-1,modd,lcmm,flag&&i==maxx);
    }
    if(!flag)dp[pos][mod][ls[lcm]]=ans;
    return ans;
}
long long solve(long long x)
{
    k=0;
    while(x)
    {
        f[++k]=x%10;
        x=x/10;
    }
    return dfs(k,0,1,1);
}

int main()
{
    for(int i=1; i<=2520; i++)
    {
        if(2520%i==0)
        {
            ls[i]=++cnt;
        }
    }
    memset(dp,-1,sizeof(dp));
    int t;
    cin>>t;
    while(t--)
    {
        long long a,b;
        cin>>a>>b;
        long long ans=solve(b)-solve(a-1);
        cout<<ans<<endl;
    }
    return 0;
}