个人专栏—张量分析专栏
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- 张量分析学习笔记四——张量的基本运算法则 张量分析学习笔记四——张量的基本运算法则
文章目录
张量概念： \color{green}张量概念： 张量概念：
-
张量：物理量的数学表达式（不依赖于坐标系）
-
张量分量：在给定坐标系中的张量表现形式
-
张量是确定不变的量，张量在不同坐标系中的显现形态（张量分量）不同
几种常见张量： \color{green}几种常见张量： 几种常见张量：
-
零阶张量 \color{green}零阶张量 零阶张量 a a a 只有大小没有方向的量，如密度、温度和压力。
-
一阶张量 \color{green}一阶张量 一阶张量 a ⃗ \vec{a} a只有大小和一个方位的量，如速度和力。
-
二阶张量 \color{green}二阶张量 二阶张量 A \mathbf{A} A包含大小和两个方向的量，如应力和应变。
注 \color{red}注 注：在后续内容中，以斜体表示标量，如 a , b , c a,b,c a,b,c;以箭头加粗表示矢量，如 a ⃗ , b ⃗ , c ⃗ \vec{a},\vec{b},\vec{c} a,b,c;以大写粗体表示二阶张量 A , B , C \mathbf{A},\mathbf{B},\mathbf{C} A,B,C,坐标基向量表示为 e ^ i , e ^ j , e ^ k \hat{e}_i,\hat{e}_j,\hat{e}_k e^i,e^j,e^k。
爱因斯坦求和约定： \color{green}爱因斯坦求和约定： 爱因斯坦求和约定：
a
⃗
=
a
1
e
^
1
+
a
2
e
^
2
+
a
3
e
^
3
=
∑
i
=
1
3
a
i
e
^
i
(
i
=
1
,
2
,
3
)
\vec{a}=a_1\hat{e}_1+a_2\hat{e}_2+a_3\hat{e}_3=\sum_{i=1}^{3}a_i\hat{e}_i\quad (i=1,2,3)\\
a=a1e^1+a2e^2+a3e^3=i=1∑3aie^i(i=1,2,3)
对上式化简求和符号,即可得爱因斯坦求和约定：
a
⃗
=
a
i
e
^
i
(
i
=
1
,
2
,
3
)
\fbox{$\vec{a}=a_i\hat{e}_i$}\quad (i=1,2,3)
a=aie^i(i=1,2,3)
应用示例： \color{green}应用示例： 应用示例：
- $a_1x_1x_3+a_2x_2x_3+a_3x_3x_3 $采用爱因斯坦求和指标写法： a i x i x 3 ( i = 1 , 2 , 3 ) a_ix_ix_3 \quad (i=1,2,3) aixix3(i=1,2,3)
- x 1 x 1 + x 2 x 2 x_1x_1+x_2x_2 x1x1+x2x2 采用爱因斯坦求和指标写法： x i x i ( i = 1 , 2 ) x_ix_i\quad (i=1,2) xixi(i=1,2)
指标标记写法： \color{green}指标标记写法： 指标标记写法：
数学表达式如下：
{
a
11
x
1
+
a
12
x
2
+
a
13
x
3
=
b
1
a
21
x
1
+
a
22
x
2
+
a
23
x
3
=
b
2
a
31
x
1
+
a
32
x
2
+
a
33
x
3
=
b
3
→
哑标j
{
a
1
j
x
j
=
b
1
a
2
j
x
j
=
b
2
a
3
j
x
j
=
b
3
→
自由指标
i
a
i
j
x
j
=
b
i
\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3=b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3=b_2\\ a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3=b_3 \end{cases} \xrightarrow{\textit{哑标j}} \begin{cases} a_{1j}x_j=b_1\\ a_{2j}x_j=b_2\\ a_{3j}x_j=b_3 \end{cases} \xrightarrow{\textit{自由指标 i}} a_{ij}x_j=b_i
⎩
⎨
⎧a11x1+a12x2+a13x3=b1a21x1+a22x2+a23x3=b2a31x1+a32x2+a33x3=b3哑标j⎩
⎨
⎧a1jxj=b1a2jxj=b2a3jxj=b3自由指标 iaijxj=bi
- 自由指标（free index）
i在表达式的各项中只出现一次； - 哑标（dummy index）
j求和约定中的重复角标，在表达式的各项中只出现两次；
应用示例： \color{green}应用示例： 应用示例：
展开张量: $A_{ij}x_ix_j \quad (i,j=1,2,3) $，
指标 $i,j $均为哑标，表明指标求和，且 $A_{ij}x_ix_j $没有只有指标，求和结果为标量。
A
i
j
x
i
x
j
→
展开i
[
A
1
j
x
1
x
j
⏟
+
A
2
j
x
2
x
j
⏟
+
A
3
j
x
3
x
j
⏟
A
11
x
1
x
1
A
21
x
2
x
1
A
31
x
3
x
1
+
+
+
A
12
x
1
x
2
A
22
x
2
x
2
A
32
x
3
x
2
+
+
+
A
13
x
1
x
3
A
23
x
2
x
3
A
33
x
3
x
3
]
↓
展开j
A_{ij}x_ix_j\xrightarrow{\textit{展开i}} \begin{bmatrix} \underbrace{A_{1j}x_1x_j} & + & \underbrace{A_{2j}x_2x_j} & + & \underbrace{A_{3j}x_3x_j}\\ A_{11}x_1x_1 & & A_{21}x_2x_1 & & A_{31}x_3x_1\\ +& & + & & +\\ A_{12}x_1x_2 & & A_{22}x_2x_2 & & A_{32}x_3x_2\\ +& & + & & +\\ A_{13}x_1x_3 & & A_{23}x_2x_3 & & A_{33}x_3x_3\\ \end{bmatrix} \downarrow{\textit{展开j}}
Aijxixj展开i
A1jx1xjA11x1x1+A12x1x2+A13x1x3+
A2jx2xjA21x2x1+A22x2x2+A23x2x3+
A3jx3xjA31x3x1+A32x3x2+A33x3x3
↓展开j
对上式进行整理归纳
A
i
j
x
i
x
j
=
A
11
x
1
x
1
+
A
12
x
1
x
2
+
A
13
x
1
x
3
+
A
21
x
2
x
1
+
A
22
x
2
x
2
+
A
23
x
2
x
3
+
A
31
x
3
x
1
+
A
32
x
3
x
2
+
A
33
x
3
x
3
A_{ij}x_ix_j=A_{11}x_1x_1+A_{12}x_1x_2+ A_{13}x_1x_3+A_{21}x_2x_1+A_{22}x_2x_2+A_{23}x_2x_3+A_{31}x_3x_1+A_{32}x_3x_2+A_{33}x_3x_3
Aijxixj=A11x1x1+A12x1x2+A13x1x3+A21x2x1+A22x2x2+A23x2x3+A31x3x1+A32x3x2+A33x3x3
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