2022.02.21一元三次方程求解

2022.02.21一元三次方程求解

题目描述

有形如：$a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0$ 这样的一个一元三次方程。给出该方程中各项的系数（a,b,c,d 均为实数），并约定该方程存在三个不同实根（根的范围在 -100 至 100 之间），且根与根之差的绝对值 $\ge 1$。要求由小到大依次在同一行输出这三个实根(根与根之间留有空格)，并精确到小数点后 2 位。

提示：记方程 f(x) = 0，若存在 2 个数 $x_1$ 和 $x_2$ ，且 $x_1<x_2$，$f(x_1)\times f(x_2)<0$，则在$ (x_1, x_2)$ 之间一定有一个根。

输入格式

一行，4 个实数 a,b,c,d。

输出格式

一行，3 个实根，从小到大输出，并精确到小数点后 2 位。

样例输入

1 -5 -4 20

样例输出

-2.00 2.00 5.00

思路

思路1：穷举

从-100出发，每次走0.01，并记录其函数值的绝对值大小，最接近0的三个数值，认为是解。

代码

	double a,b,c,d;
	Node[] ns = new Node[20000];
	double f(double x) {
		return a*Math.pow(x, 3)+b*Math.pow(x, 2)+c*x+d;
	}
	
	String getRes(double A, double B, double C) {
		double[] ts = new double[3];
		ts[0] = A;
		ts[1] = B;
		ts[2] = C;
		Arrays.sort(ts);
		return "".format("%.2f", ts[0])+" "+"".format("%.2f", ts[1])+" "+"".format("%.2f", ts[2]);
	}
	void test() throws IOException {
		Reader cin = new Reader();
		a = cin.nextDouble();
		b = cin.nextDouble();
		c = cin.nextDouble();
		d = cin.nextDouble();
		double x = -100;
		int i = 0;
		while(x <= 100) {
			ns[i++] = new Node(x, Math.abs(f(x)));
			x+=0.01;
		}
		Arrays.sort(ns);
		System.out.println(getRes(ns[0].x,ns[1].x,ns[2].x));
	}
	
	class Node implements Comparable<Node>{
		double x;
		double err;
		Node(double x, double err) {
			this.x = x;
			this.err = err;
		}
		public int compareTo(Node o) {
			if(err<o.err) return -1;
			else if(err>o.err) return 1;
			return 0;
		}
	}

思路2：二分

上述思路并没有考虑到题目中的条件：根与根之间的差大于1，可以根据该推论，得到以下结论：
根于根之间差大于1 —> 在长度为1的区间内，只可能最多存在一个根。
而只存在一个根的条件是区间首尾的函数值相等。所以，如果一个区间首尾函数值同号，则区间内无解，否则利用二分查找求解

代码2

	void test2() throws IOException {
		Reader cin = new Reader();
		a = cin.nextDouble();
		b = cin.nextDouble();
		c = cin.nextDouble();
		d = cin.nextDouble();
		
		for(int i = -100; i < 100; i++) {
			// 得到区间 [i, i+1)
			if(f(i) == 0) System.out.print("".format("%.2f",(double)i)+" ");
			else if(f(i)*f(i+1) < 0) {
				System.out.print("".format("%.2f",find(i, i+1))+" ");
			}
		}
	}
	double find(double l, double r) {
		if(Math.abs(l-r) < 0.001) return l;
		double mid = (l+r)/2;
		if(f(mid)*f(l) <= 0) return find(l, mid);
		else return find(mid, r);
	}