2021.05.19等差数列划分

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#算法 #蓝桥杯 #java

本文介绍了如何使用动态规划算法解决LeetCode上关于判断数组子序列是否为等差数列的问题，通过定义状态并利用HashMap优化存储，计算不同公差下等差子序列的计数。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

2021.05.19等差数列划分

（题目来源：https://leetcode-cn.com/problems/arithmetic-slices/ ）

题目描述

如果一个数列至少有三个元素，并且任意两个相邻元素之差相同，则称该数列为等差数列。
例如，以下数列为等差数列:
1, 3, 5, 7, 9
7, 7, 7, 7
3, -1, -5, -9

以下数列不是等差数列。
1, 1, 2, 5, 7

数组 A 包含 N 个数，且索引从 0 开始。该数组子序列将划分为整数序列 (P0, P1, …, Pk)，满足 0 ≤ P0 < P1 < … < Pk < N。

如果序列 A[P0]，A[P1]，…，A[Pk-1]，A[Pk] 是等差的，那么数组 A 的子序列 (P0，P1，…，PK) 称为等差序列。值得注意的是，这意味着 k ≥ 2。

函数要返回数组 A 中所有等差子序列的个数。

输入包含 N 个整数。每个整数都在 $2^{31}$ 和 $2^{31}-1$ 之间，另外 0 ≤ N ≤ 1000。保证输出小于 $2^{31}-1$ 。

思路: 动态规划

定义状态：dp[d][i]：以第i个元素结尾的公差为d的等差子序列个数。
必须还要有数组记录等差子序列的长度（因为长度为3以上才可计数）。
由于d可能很大，所以不可以直接开一个长度为的数组。可用一个HashMap<Integer,Integer>其中第1个Integer是公差d，第2个是个数。
如果不另外开一个数组存储长度，那么只能采取“只将长度符合的子序列加入容器”的方法解决2.
所以，为解决以上问题，我们需要开辟一个HashMap容器数组：

HashMap<Integer, Integer>[] map = new HashMap[n];

代码

	public int numberOfArithmeticSlices(int[] nums) {
		int res = 0;
		int n = nums.length;
		//map[i]<k,v>: 第i个元素结尾，公差为k长度>=2的等差数列有v个（已计数）
		HashMap<Integer, Integer>[] map = new HashMap[n];
		for(int i = 1; i < n; i++) {
			map[i] = new HashMap<Integer, Integer>();
			long cur = nums[i];
			for(int j = 0; j < i; j++) {
				long d = cur-nums[j];
				if(d < Integer.MIN_VALUE || d > Integer.MAX_VALUE) continue;
				int k = (int) d;
				int cnt = map[j].getOrDefault(k, 0); 
				int origin = map[i].getOrDefault(k, 0);
				map[i].put(k, cnt + origin +1);
				res += cnt;
			}
		}
		return res;
    }

分析

int cnt = map[j].getOrDefault(k, 0);
表示以第j个元素结尾的数组（包括长度为2）个数。
res += cnt;
由于状态map[i]是以第i个元素结尾的状态（但是是已计过数的），所以这里我们直接通过第j个元素推算出其加上第i个元素的序列个数。加到res中去。
int origin = map[i].getOrDefault(k, 0);
如果在遍历过程中已遇到和第j个元素相等的元素，那么已第i个元素结尾的子序列个数是需要再纳入考虑范围的。
map[i].put(k, cnt + origin +1);
(1)这里为更新状态i，和计数无关，计数部分在4.中，已由状态j推出需要加上的个数。
(2)cnt: 由第j个元素结尾的序列，如果加上第i个元素，就是第i个元素结尾的序列个数。
(3)Origin: 原来就有的个数
(4)+1：是指加上了序列{nums[j], nums[i]}，由于我们定义的状态是已经计过数的，所以这里的长度为2的1个序列不会直接加到res中去，等到下一次遍历再到其末尾加上一个数字，变成长度为3的序列才会计数。即通过1.2.步。