【五校联考2015 8.20】宝藏

题目大意

给出一棵$n$个点的树。
若某一时刻你在点$x$上，那么下一时刻你会等概率的走到任意一个相邻的点$y$上。
给出$Q$个询问，形如$st\ p_1\ p_2...p_k$，表示问从$st$出发，沿途依次经过$p_1, p_2,..., p_k$（倘若经过$p_2$之前到过了$p_3$，在经过$p_2$之后依旧要重新经过$p_3$一次。）期望时间是多少。

$n, p\cdot q <50000$

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分析

我的想法是暴力模拟$1000$步，结果爆零了。然而模拟$3000$步可以捞到$30$分= =

根据期望的线性性，可以发现每个询问可以分解成求若干个起点到对应终点的期望时间，然后加起来就是改询问的答案。

不妨记$E(x)$为$x$到终点的期望时间。那么可以列出式子
$E(x)=\sum_{(x, y)\in E} \frac{E(y)}{d_x}+ 1$
其中$d_x$表示点$x$的度数。
注意条件那里的$E$符号上与期望冲突了，但它实际上表示边集，而且注意是求和后再加一。

那么接下来的就是带入$E(T)=0$，然后高斯消元解出$E(S)$就可以了。

然而考虑这里是一棵树，尤其是消元的过程十分的特殊。

叶子的等式
$E(x)=E(fa_x)+1$

倒数第二层的等式
$\ \ \ \ E(x)$
$=\sum_{(x, y)\in E}\frac{E(y)}{d_x}+\frac{E(fa_x)}{d_x}+1$
$=\sum_{(x, y)\in E}\frac{E(x)+1}{d_x}+\frac{E(fa_x)}{d_x}+1$
$=\frac{d_x-1}{d_x}(E(x)+1)+\frac{E(fa_x)}{d_x}+1$
$=(d_x-1)+E(fa_x)+d_x$
$=E(fa_x)+2d_x-1$

它化成了一种$E(fa_x)+b$的形式。这启示我们是否可以沿着这个思路想下去。

假如现在有任意一个点$x$我们要推出$E(x)$的表达式，前提是它的孩子$y$都可以写成$E(y)=E(fa_y)+b_y$的形式。

$\ \ \ \ E(x)$
$=\sum_{(x, y)\in E}\frac{E(y)}{d_x}+\frac{E(fa_x)}{d_x}+1$
$=\sum_{(x, y)\in E}\frac{E(x)+b_y}{d_x}+\frac{E(fa_x)}{d_x}+1$
$=E(fa_x)+\sum_{(x, y)\in E}b_y+d_x$

成功地化成了$E(fa_x)+b$的形式。而且我们发现$b_x$的值就是$x$这棵子树的度数和。
那么剩下的就是从终点开始递推回来了。我们发现从$x$的某一个祖先递推回$x$大致上是把这段路上的$b$值加起来，这个用个前缀和数组减一减就可以了。问题在于我们如何自下而上的递推呢？

直接移项肯定是有问题的。这些等式都是根据$E(T)=0$消出来的。也就是说$E(T)$本身不存在等式可以供你移项。其它移项后的等式就更加是子虚乌有了。

不妨考虑旋根。当然这里我们不是真正意义上的旋根，只是在脑中把它旋过来。我们发现旋转后的新的$b$值也是很好计算的。用同样的方法维护一下，我们就可以实现自下而上的递推了。

时间复杂度$O(pqlogn)$