【集训队作业】TREECNT2

题目大意

给出一棵$n$个节点的带边权树，以及$Q$组修改，每组修改形如将边$x$的权值改为$v$。要求回答原树以及每一次修改后，有多少个无序点对$(u, v)$满足$u$到$v$的路径上所有边权的最大公约数为$1$。

$n<10^5, Q<100$
边权$\in [1, 10^6]$
时限$2s$

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分析

统计最大公约数为$1$很难入手，不妨考虑下面这个式子。
记$g_x$表示最大公约数为$x$的倍数的点对数，$f_x$为最大公约数为$x$的点对数，则有
$g_x=\sum_{x|d}f_d$

莫比乌斯反演可得
$f_x=\sum_{x|d}\mu(\frac{d}{x})g_d$

而我们需要的$f_1$
$f_1=\sum_{x}\mu(x)g_x$

剩下的就是统计$g_x$的问题了。注意现在问题转化为了“有多少个无序点对$(u,v)$满足从$u$到$v$的路径上所有的边都是$x$的倍数”。那么我们只需要将为$x$的倍数的边用并查集并起来，每一个联通块分别统计方案数就可以了。

但是这里需要支持修改操作，每一次重新用并查集合并显然不现实，而并查集对于分拆操作比较无力。注意到修改次数很少，最多只有$100$次，这意味着计算一个$g_x$时，有大量的边都是从头到尾都需要被加入的，我们不妨将他们加入后就不动了。但是我们不动这些边的同时，也就意味着我们需要实现一个撤销最后一步的操作。实际上不需要可持久化并查集，仅仅需要简单的一个队列将关于并查集的值的修改都存起来，将它逐个还原就可以了。

还有一个问题，合并的总次数可能很大。接下来我们不妨分析一下，可以发现合并的总次数不会特别大。
首先我们只需要计算所有$\mu(x)\neq0$的$g_x$，这里大致上有$6\times 10^5$个$g_x$需要计算。
其次$10^6$以内约数最多的一个数仅仅有$240$个左右的约数，平均只有$13$个左右，也就是说理论总合并次数上界是2400万次，但实际上这是远达不到的，平均情况下只有$130$万次左右。
而撤回操作的时间复杂度和合并的时间复杂度是相同的。

总时间复杂度$O(C\alpha(C))$
空间复杂度$O(C)$
其中是总合并次数。