【COCI 2009】ALADIN

题目大意

要求维护一个长度为$n$的序列，有两种操作，共$m$个询问。

1. 将区间$[l, r)$上的数进行修改，位置$i$上的数改为$iA\mod B$
2. 询问区间$[l, r)$上的数的和。

其中$n<=10^9, m<=10^5$

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分析

注意这里是将数模了，询问总和时不模。
离散化以后套个线段树就可以处理好两种询问，问题在于怎么求这样一个东西。

$\sum_{i=0}^n (iA\mod B)$

考虑将取模转换一下形式。

$\sum_{i=0}^n (iA\mod B)=A\sum_{i=0}^n i - B\sum_{i=0}^n \lfloor \frac{iA}{B}\rfloor$

左边的很好算，主要看右边的取整求和部分。
几何化地理解一下，实际上它求的是一个以$(0, 0), (n, 0), (n, \frac{nA}{B})$为顶点的三角形内或边缘上的整点数目（不考虑落在坐标轴上的底边）。
不妨分类讨论。
若$A>B$，则$A$可以写成$A=kB+r$，其中$k, r$都是非负整数。
那么就有

$\sum_{i=0}^n \lfloor \frac{iA}{B}\rfloor=\sum_{i=0}^n \lfloor \frac{i(kB+r)}{B}\rfloor=\sum_{i=0}^n \lfloor \frac{ir}{B}\rfloor+k\sum_{i=0}^n i$

那么就转化为了$A<B$的情况。
对于这种情况我们不妨反过来算，算矩形点数减去上三角形点数来得到下三角形点数，设$\lfloor \frac{nA}{B}\rfloor=m$。

$\sum_{i=0}^n \lfloor \frac{iA}{B}\rfloor=nm-\sum_{i=0}^m \lfloor \frac{iB}{A}\rfloor+diagonal$

其中$diagonal$代表落在对角线上的整点，它的值是$\lfloor \frac{n \cdot gcd(A, B)}{B}\rfloor$。因为这条直线必定过点$(B, A)$，而它与$(1, 1)$形成的线段上有$gcd(A, B)$个整点，每个整点的横坐标之间差了$\frac{B}{gcd(A, B)}$个单位，于是$n$个单位再除一下就好了。

注意到我们的问题转化为了求$\sum_{i=0}^m \lfloor \frac{iB}{A}\rfloor$，也就是说$A$和$B$调换了位置，那么又转化回了$A>B$的问题。这样子类似于欧基里德算法地计算，时间复杂度是$O(logn)$。

然后剩下的就是简单的线段树维护了。
总时间复杂度$O(nlog^2n)$。

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后记

要注意取模转化的技巧，以及数论知识的运用。