[COCI2009-2010#1] ALADIN

题目描述很简单，就是要求我们计算$\sum _{i=1}^{n}i\times A\mathrm{mod}B$，但是仔细思考会发现$\sum _{i=1}^{n}i\times A\mathrm{mod}B\ne \left(\sum _{i=1}^{n}i\times A\right)\mathrm{mod}B$，但是根据取模的实质可以知道$\sum _{i=1}^{n}i\times A\mathrm{mod}B=\sum _{i=1}^{n}i\times A-\sum _{i=1}^n\lfloor \frac{i\times A}{B}\rfloor \times B$，现在的问题就是如何求出$\sum _{i=1}^n\lfloor \frac{i\times A}{B}\rfloor$，下面将给出应该能看懂的推导。

本题难在求公差为1的等差数列乘一个数再除以一个数向下取整的和，写成公式：

$$\sum _{i=1}^n\lfloor \frac{i\times q}{p}\rfloor$$

直接变换公式好像没什么用，那么我们就尝试将其转换到笛卡尔坐标系中来看（不要问怎么想到的，这是别人给我讲的，应该是一个技巧吧），那么对于一个点$(i,\frac{i\times q}{p})$，$\lfloor \frac{i\times q}{p}\rfloor$的值就转换成了点$(i,0)$到点$(i,\frac{i\times q}{p})$之间有多少个整点。那么对于给定的$n,q,p$，答案就变成了求出由直线$y=\frac{q}{p}x,x=n,y=0$三条直线所围成的一个直角三角形中有多少个整点（$y=\frac{q}{p}x,x=n$上的整点也要计入答案，$y=0$上的整点不计入答案），例如当 n = 4 ,