Codeforces 658C Bear and Forgotten Tree 3【构造】

本文解析了CodeForces C题目的求解方法,通过分析树的直径、高度与节点数量之间的关系,给出了一种构造树的具体算法。适用于竞赛编程爱好者。

题目链接:

http://codeforces.com/contest/658/problem/C

题意:

给定结点数,树的直径(两点的最长距离),树的高度(1号结点距离其他结点的最长距离),写出树边的端点,一种情况即可。如不存在,输出-1。规定根为1号结点。

分析:

首先可以明确 h<(d+1)/2 的时候不能构成树。
h!=d 时,先将 h1 个点和1连成串,然后剩下的点都和1直接相连。
h==d 时,还是先将 h1 个点和1连成串,剩下的点不能连在这个h个点构成的串的两头,在串中间随便找一点,然后剩下的点都和这个点连在一起就好了。
但是!前提是有这个随便的一点,也就是说h等于1的时候是没有中间节点的,除非只有两个结点,否则无法构成树。
h不等于1的情况就很简单了,直接在2上不停的加点就好了。。。

代码:

#include <cstdio>
int main (void)
{
    int n, d, h;
    scanf("%d%d%d", &n, &d, &h);
    if(h < (d + 1) / 2 ) return printf("-1\n"), 0;
    if(d == 1 && n > 2) return printf("-1\n"), 0;
    for(int i =  1 ; i <=  h; i++)
         printf("%d %d\n", i , i + 1);
    if (d != h){
        printf("1 %d\n", h + 2);
        for(int i = h + 2; i <= d; i++ )
            printf("%d %d\n", i , i + 1);
        for(int i = d + 2; i <= n ; i++)
               printf("1 %d\n", i);
    }else{
        for(int i = h+ 2; i <= n; i++)
            printf("2 %d\n", i);
    }

    return 0;
}
### 解题思路 #### 问题描述 Codeforces 1678C - Tokitsukaze and Strange Inequality 是一道关于排列组合与前缀和的应用问题。给定一个长度为 \( n \) 的排列数组 \( p \),需要统计满足条件 \( a < b < c < d \) 并且 \( p_a < p_c \) 同时 \( p_b > p_d \) 的四元组数量。 --- #### 核心思想 由于数据规模较小 (\( n \leq 5000 \)),可以直接通过枚举的方式解决问题。为了降低时间复杂度,引入 **前缀和** 技术来加速计算过程[^3]。 具体来说: - 枚举变量 \( a \) 和 \( c \),固定它们之后,目标是快速找到符合条件的 \( b \) 和 \( d \)。 - 使用预处理好的前缀和数组 `num` 来高效查询某个范围内满足特定关系的数量。 - 定义辅助数组 `sum` 表示对于固定的区间范围内的某些约束条件下的累积计数结果。 --- #### 实现细节 ##### 步骤一:构建前缀和数组 `num` 定义二维数组 `num[i][j]`,其中 `num[i][j]` 表示在序列的前 \( i \) 项中,有多少个元素大于 \( j \)。 该数组可以通过如下方式初始化: ```python n = len(p) max_val = max(p) # 初始化 num 数组 num = [[0] * (max_val + 2) for _ in range(n + 1)] for i in range(1, n + 1): for j in range(max_val + 1, -1, -1): # 反向遍历以保持正确性 if p[i - 1] > j: num[i][j] = num[i - 1][j] + 1 else: num[i][j] = num[i - 1][j] ``` 上述代码的时间复杂度为 \( O(n \cdot m) \),其中 \( m \) 是数组中的最大值。 --- ##### 步骤二:定义并填充辅助数组 `sum` 定义另一个二维数组 `sum[i][j]`,它表示当 \( a=i \), \( c=j \) 时,在区间 \([a+1, c-1]\) 中满足 \( p[b] > p[d] \) 的总贡献次数。 利用动态规划的思想逐步更新此数组: ```python sum_ = [[0] * (n + 1) for _ in range(n + 1)] bucket = [0] * (max_val + 1) for l in range(n - 1, 0, -1): bucket[p[l]] += 1 for r in range(l + 2, n + 1): sum_[l][r] = sum_[l][r - 1] + (num[r - 1][p[r - 1]] - num[l][p[r - 1]]) ``` 这里的关键在于如何有效累加当前区间的合法贡献,并借助之前已经计算的结果减少重复运算。 --- ##### 步骤三:枚举所有可能的 \( a \) 和 \( c \) 最后一步是对所有的 \( a \) 和 \( c \) 进行双重循环,并将对应位置上的 `sum[a][c]` 加入最终答案中: ```python result = 0 for a in range(1, n - 2): for c in range(a + 2, n): result += sum_[a][c] print(result) ``` 整个算法的核心部分即完成以上三个阶段的操作即可实现高效的解决方案。 --- ### 总结 本题主要考察的是对多重嵌套结构的有效简化以及合理运用前缀和技巧的能力。通过巧妙设计的数据结构能够显著提升程序运行效率至可接受水平。
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