AtCoder ABC129E Sum Equals Xor 动态规划

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动态规划

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博客介绍了如何利用动态规划解决AtCoder上的ABC129E问题，该问题要求找到满足a+b=a⊕b且结果小于等于L的二元组(a, b)的数量。解决方案通过分析a和b的二进制表示，构建dp数组来计算小于和等于L的方案数。最后，答案是dp数组中对应位的和。" 84668670,1221363,C#实现Word公式与表格处理,"['C#', 'Word处理', '公式编辑', '表格操作', '文件IO']

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Describtion

以二进制给定一整数 $L$ ，求有多少二元组 $(a, b)$ 满足 $a+b=a\oplus b\leq L$ 。

Solution

对 $a, b$ 的二进制形式的每一位进行讨论。
因为异或是不进位加法，所以 $a+b=a\oplus b$ 相当于 $a$ 和 $b$ 的同一位不能同为 $1$ 。
令 $d p [i] [0]$ 为 $a\oplus b$ 的前 $i$ 位小于 $L$ 的前 $i$ 位的方案数， $d p [i] [1]$ 则为等于的方案数。

$L$ 的当前位为 $1$ 。此时等于的情况为上一位等于且 $a, b$ 分别取 $1, 0$ 和 $0, 1$ ，即 $dp[i][1]=dp[i-1][1]\times2$ 。小于的情况有两种：上一位小于，则有 $3$ 种情况: $0, 0$ ， $0, 1$ 和 $1, 0$ ；上一位等于的情况就 $1$ 种： $0, 0$ ，即 $dp[i][0]=dp[i-1][0]\times3+dp[i-1][1]$ 。
$L$ 的当前位为 $0$ 。等于的情况为上一位等于且 $a, b$ 都取 $0$ ，即 $d p [i] [1] = d p [i - 1] [1]$ 。小于的情况只有 $3$ 种，即上一位小于， $a, b$ 分别取 $0, 0$ ， $0, 1$ 和 $1, 0$ 。

最终答案即为 $d p [n] [1] + d p [n] [0]$ , $n$ 即为 $L$ 的二进制长度。

Code

#include<bits/stdc++.h>
#define mod 1000000007
using namespace std;
long long n,dp[105000][2];
char s[105000];
int main(){
	scanf("%s",s+1);
	n=strlen(s+1);
	dp[0][1]=1;//初始化
	for(int i=1;i<=n;++i){
		dp[i][0]=(dp[i-1][0]*3)%mod;
		if(s[i]=='1'){
			dp[i][0]=(dp[i][0]+dp[i-1][1])%mod;
			dp[i][1]=(dp[i-1][1]*2)%mod;
		}
		else dp[i][1]=dp[i-1][1];
	}
	printf("%lld\n",(dp[n][0]+dp[n][1])%mod);
	return 0;
}