UVA 11400(DP)

题意给定n种类型灯泡，每个灯泡给出其电压v，电源花费k，每个灯的花费c和需求量l,现在通过用电压大的灯泡替换某些电压小的灯泡来减小总花费，求最小的花费。

首先要说明的是，为求得最小花费，对于某种灯泡，要么全部替换，要么全不替换，这个很容易证明。

这个问题难就难在如何找子问题。如果先按灯泡电压把灯泡从小到大进行排序，定义dp[i]为替换第i种灯泡后前i种灯泡的最小花费，因为对一种替换情况，不知道用来替换的灯泡后来会不会再用，如果不用相当于不替换的情况下多用了一个电源，这样不一定会达到最优，所以这样定义不行。这样当前的决策会影响到后面的决策。对于这种情况，我们应该对决策进行一定的限制: 求前i个灯泡的最小花费时，只允许用第i种灯泡进行替换!  如何替换呢？ 只能替换1 到i 中序号连续的灯泡！！！ 即决策应为选择一个j，替换掉序号为 j 到i - 1的所有灯泡，使得前i号灯泡花费最小。那么最终 dp[n]即为答案。即d[i]为只考虑前i种灯泡的最小花费，状态转移方程：d[i] = min{d[i] + (s[i] - s[j]) * c[i] + k[i]} 其中s[i]为前i种灯泡的总数量。

但这样做是否正确呢，首先上面的方法在求前i 个灯泡的最小花费时，只能用第i个灯泡替换，这样并不影响，因为通过循环所有的灯泡都会用来替换。 问题关键是只考虑替换连续区间的灯泡造成解丢失的情况。比如说会不会出现最优解是序号为1， 3的灯泡被一种灯泡替换，序号为2的被另一种替换或不被替换。 假设这种情况下是最小花费，那么替换序号2的灯泡的单价一定小于替换序号1的灯泡的单价，否则不会是最小值，既然替换序号2的灯泡的单价小于替换序号1的灯泡的单价，那么用替换2的灯泡去替换灯泡1，就会产生更小的花费，这与假设向矛盾，所以假设不成立，即前面的决策不会漏掉答案。代码如下：

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int MAXN = 1010;

struct Lamb
{
    int v;
    int c;
    int l;
    int k;
};
Lamb la[MAXN];
int s[MAXN], n, dp[MAXN];

bool camp(Lamb a, Lamb b)
{
    return a.v < b.v;
}
int main()
{
    while(true)
    {
        scanf("%d", &n);
        if(!n)
            break;

        int i, j;
        for(i = 1; i <= n; i++)
            scanf("%d%d%d%d", &la[i].v, &la[i].k, &la[i].c, &la[i].l);

        sort(la+1, la+n+1, camp);
        for(i = 1; i <= n; i++)
        {
            s[i] = s[i - 1] + la[i].l;
        }
        for(i = 1; i <= n; i++)
        {
            dp[i] = la[i].k + la[i].c * s[i];   //初始化为全部换为第i个灯泡的价值。
            for(j = 1; j < i; j++)
            {
                dp[i] = min(dp[i], dp[j] + (s[i] - s[j]) * la[i].c + la[i].k);
            }
        }
        printf("%d\n", dp[n]);
    }
    return 0;
}