树状数组相关-优快云博客

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/Xing_ke/article/details/136018248

文章介绍了如何利用树状数组数据结构进行区间操作，包括维护区间最大值、单点修改、单点查询以及区间查询，以解决AtcoderBeginnerContest339E中的问题，通过递归更新差分数组来高效处理区间操作。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

前置细节

$lowbit(x)=x\&(-x)$ ，得到 $x$ 转二进制后，从右往左数第一个1与之前所有的0构成数
树状数组最终形成如上图结构
$t[i]$ 维护的是 $[i-lowbit(i)+1,i]$ 的信息
$i+lowbit(x)$ ，如 $4\rightarrow 8=100+100,6\rightarrow 8=110+10,7\rightarrow 8=111+1$
即到上层，包含当前区间的大区间
$i-lowbit(i)$ ，如 $6\rightarrow 4=110-10,5\rightarrow 2=101-1$
即到同一层的前一个，与当前区间无关的另一同等大小的区间
$t[i]$ 的信息是由 $a[i],t[i-1],t[i-(10) ],\cdots ,t[i-j](j<lowbit(i))$ 整合的
如维护区间最大值， $t[8]= max\ a[8],t[7],t[6],t[4]$
用于解决将值变小且该值为区间最大值，或将值变大且该值为区间最小值
区间和不受影响原因求区间和不用管区间中某一点具体是多少

维护区间和

单点修改

void update(int x,int k) {
		for(int i=x;i<=size;i+=lowbit(i)) {
			tr[i]+=k;
		}
	}

区间修改

此时树状数组中维护的是差分数组
$add(l,r,k)\Rightarrow update(l,k),update(r+1,-k)$

单点查询

若维护的不是差分数组，直接输出 $t[x]$

若维护的是差分数组，则 $ans=a[x]+query(x)$ ， $a[x]$ 为初值

int query(int x){
    int res=0;
    for(int i=x;i>0;i-=lowbit(i)){
        res+=t[i];
    }
    return res;
}

区间查询

若维护的不是差分数组 $query(x)$ 等于前缀和， $Sum(l,r)=query(r)-query(l-1)$
若维护的是差分数组，则 $Sum(l,r)=\sum_{i=l}^{r}a[x]+query(x)$

维护极值

以最大值为例

单点修改

void update(int x,int k) {
			tr[x]=k;
			for(int i=x;i<=size;i+=lowbit(i)) {//往上层接着更新
				int lw=lowbit(i);
				for(int j=1;j<lw;j<<=1) {
					tr[i]=Math.max(tr[i], tr[i-j]);
					//tr[8]=max tr[7],tr[6],tr[4],a[8]
					//7=8-1.6=8-(10),4=8-(100)
				}
			}
		}

区间查询

int query(int l,int r) {
			//tr[i]=max [i-lowbit(i)+1,i]
			//if l<=i-lowbit(i)+1 直接用tr[i]
			//否则，只能用a[i],剩下递归l,i-1
			if(l>r)return 0;
			else if(l==r)return a[l];
			else if(l<=r-lowbit(r)+1)//包含[l,r]=[r-lowbit(r)+1,r]=tr[r]
                    return Math.max(query(l, r-lowbit(r)),tr[r]);
			else return Math.max(query(l, r-1), a[r]);
		}

例：Atcoder Beginner Contest 339 E

题目大意

给定一个长度为 $n$ 的序列a， $1\leq a_i\leq 5*1e5$
找到a的最长子序列，使得子序列中相邻两值的绝对差不超过 $D$

解题思路

定义 $f[i]$ 表示以 $i$ 点为起点的最长子序列长度
从 $n-1$ 号开始处理到 $0$ 号， $f[i]=(Max_{j=i+1}^{n-1} f[j])+1\&\&Math.abs(a[i]-a[j])<=D$
直接暴力 $O(n^2)$ 过不去
考虑用树状数组维护区间最值
将 $0\rightarrow 5*1e5$ 看作数组空间，查询区间即为 $[max (a[i]-D,0),min(a[i]+D,5*1e5)]$
$f[i]$ 定义为以值 $i$ 为起点的最长子序列长度
每处理完一个 $f[i]$ ，则添入树状数组中，保证处理当前第 $k$ 个点，只有 $k+1\rightarrow n-1$ 的结果在数组里

import java.io.*;
import java.math.BigInteger;
import java.util.Arrays;
import java.util.BitSet;
import java.util.HashMap;
import java.util.HashSet;
import java.util.Iterator;
import java.util.LinkedList;
import java.util.PriorityQueue;
import java.util.Queue;
import java.util.StringTokenizer;
import java.util.Vector;




public class Main{
	static int[] a;
	static int[] f;//对应长度
	static
	class BIT{
		int size;
		int[] tr;
		public BIT(int n) {
			size=n;
			tr=new int[n+1];
		}
		int lowbit(int x) {
			return x&(-x);
		}
		void update(int x,int k) {
			//可能将当前区间最大值对应的点的值改小
			tr[x]=f[x]=k;
			for(int i=x;i<=size;i+=lowbit(i)) {
				int lw=lowbit(i);
				for(int j=1;j<lw;j<<=1) {
					tr[i]=Math.max(tr[i], tr[i-j]);
					//tr[8]=max tr[7],tr[6],tr[4],a[8]
					//7=8-1.6=8-(10),4=8-(100)
				}
			}
		}
		int query(int l,int r) {
			//tr[i]=max [i-lowbit(i)+1,i]
			//if l<=i-lowbit(i)+1 直接用tr[i]
			//否则，只能用a[i],剩下递归l,r-1
			if(l>r)return 0;
			else if(l==r)return f[l];
			else if(l<=r-lowbit(r)+1)return Math.max(query(l, r-lowbit(r)),tr[r]);
			else return Math.max(query(l, r-1), f[r]);
		}
	}

	public static void main(String[] args) throws IOException{
		AReader input=new AReader();
	    PrintWriter out = new PrintWriter(new OutputStreamWriter(System.out));
	    int n=input.nextInt();
	    int D=input.nextInt();
	    a=new int[n+1];
	    for(int i=0;i<n;++i) {
	    	a[i]=input.nextInt();
	    }
	    BIT T=new BIT(500010);
	    f=new int[500010];
	    f[a[n-1]]=1;
	    T.update(a[n-1], 1);
	    for(int i=n-2;i>=0;--i) {
	    	int l=a[i]-D<0?0:a[i]-D;
	    	int r=a[i]+D>500000?500000:a[i]+D;
	    	int t=T.query(l, r)+1;
	    	f[a[i]]=t;
	    	T.update(a[i], t);
	    }
	    int mx=T.query(0, 500001);
	   
	    out.print(mx);
	    
 	    out.flush();
	    out.close();
	}
	static
	class AReader{
	    BufferedReader bf;
	    StringTokenizer st;
	    BufferedWriter bw;

	    public AReader(){
	        bf=new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
	        st=new StringTokenizer("");
	        bw=new BufferedWriter(new OutputStreamWriter(System.out));
	    }
	    public String nextLine() throws IOException{
	        return bf.readLine();
	    }
	    public String next() throws IOException{
	        while(!st.hasMoreTokens()){
	            st=new StringTokenizer(bf.readLine());
	        }
	        return st.nextToken();
	    }
	    public char nextChar() throws IOException{
	        //确定下一个token只有一个字符的时候再用
	        return next().charAt(0);
	    }
	    public int nextInt() throws IOException{
	        return Integer.parseInt(next());
	    }
	    public long nextLong() throws IOException{
	        return Long.parseLong(next());
	    }
	    public double nextDouble() throws IOException{
	        return Double.parseDouble(next());
	    }
	    public float nextFloat() throws IOException{
	        return Float.parseFloat(next());
	    }
	    public byte nextByte() throws IOException{
	        return Byte.parseByte(next());
	    }
	    public short nextShort() throws IOException{
	        return Short.parseShort(next());
	    }
	    public BigInteger nextBigInteger() throws IOException{
	        return new BigInteger(next());
	    }
	    public void println() throws IOException {
	        bw.newLine();
	    }
	    public void println(int[] arr) throws IOException{
	        for (int value : arr) {
	            bw.write(value + " ");
	        }
	        println();
	    }
	    public void println(int l, int r, int[] arr) throws IOException{
	        for (int i = l; i <= r; i ++) {
	            bw.write(arr[i] + " ");
	        }
	        println();
	    }
	    public void println(int a) throws IOException{
	        bw.write(String.valueOf(a));
	        bw.newLine();
	    }
	    public void print(int a) throws IOException{
	        bw.write(String.valueOf(a));
	    }
	    public void println(String a) throws IOException{
	        bw.write(a);
	        bw.newLine();
	    }
	    public void print(String a) throws IOException{
	        bw.write(a);
	    }
	    public void println(long a) throws IOException{
	        bw.write(String.valueOf(a));
	        bw.newLine();
	    }
	    public void print(long a) throws IOException{
	        bw.write(String.valueOf(a));
	    }
	    public void println(double a) throws IOException{
	        bw.write(String.valueOf(a));
	        bw.newLine();
	    }
	    public void print(double a) throws IOException{
	        bw.write(String.valueOf(a));
	    }
	    public void print(char a) throws IOException{
	        bw.write(String.valueOf(a));
	    }
	    public void println(char a) throws IOException{
	        bw.write(String.valueOf(a));
	        bw.newLine();
	    }
	}
}

感谢这位大佬的博文启发https://blog.youkuaiyun.com/TheWayForDream/article/details/118436732