2024牛客寒假算法基础集训营2

原创已于 2024-02-11 10:31:52 修改 · 393 阅读

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#算法

于 2024-02-11 10:30:53 首次发布

文章介绍了如何利用C语言实现一个基于Trie的数据结构来解决给定数组构造序列的问题，通过双枚举和二进制位操作优化时间复杂度，以求解满足特定条件的数对数量。

C Tokitsukaze and Min-Max XOR

题目大意

给定一个数组 $a$
从 $a$ 任取数构成序列 $b$
序列 $b$ 满足 $b_i=min\ b,b_j=max\ b,b_i\ xor\ b_j \leq k$ ，（可以只取一个数）
问能构造出多少个 $b$
$mod=1e9+7$

解题思路

定 $max$ 找 $min$
双枚举时间复杂度到 $O(n^2)$ ，考虑利用 $01Trie$ 加速统计 $b_i \ xor\ b_j< k$ 的方案
$01Trie$ ，即将数字按二进制位拆分挂在树上
对于一个数，它在树上经过的点，均加上它对答案的贡献
所以树上的某一点存的信息为，以这个点的数位为分界，在它之前（包括它）均为某固定值，而在它后均为任意值的数对答案的贡献
若当前值为 $a_j$ ，令其为 $max$ ，则小于 $a_j$ 的有 $j-1$ 个，不考虑限制的话，共有 $2^{j-1}$ 种选取 $min$ 的方式
若选取了 $a_i$ 作为 $min$ ，则 $1\rightarrow i$ 均确定了是否选取
所以 $min=a_i,max=a_j$ ，方案数为 $2^{j-1}/2^i$
若在 $01Trie$ 上，当前为第 $t$ 位，则前 $t-1$ 位均与 $a_j\ xor\ k$ 对应数位相同
若 $k$ 的第 $t$ 位为 $1$ ，且 $01Trie$ 存在着与 $a_j$ 的第t位相同的点
则 $a_j$ 与该点往下的所有值异或后，第 $t$ 位均为 $0$
答案加上该点值，即 $ans+=\sum_{i} Val(a_i),a_i\ xor\ a_j< k$
不必在从该点往下走挨个统计，实现了加速
若能在 $01Trie$ 上走到最后，则存在 $a_i\ xor\ a_j=k$ ，答案加上该点值
最后处理完了 $a_j$ ，在将其加入 $01Trie$
由于 $b$ 数组长度可以为 $1$ ，所以初始 $ans=n$
最终复杂度为 $O(nlogn)$
注意 $Trie$ 上为 $31\rightarrow 0$


import java.io.*;
import java.math.BigInteger;
import java.util.Arrays;
import java.util.BitSet;
import java.util.HashMap;
import java.util.HashSet;
import java.util.Iterator;
import java.util.LinkedList;
import java.util.PriorityQueue;
import java.util.Queue;
import java.util.Random;
import java.util.StringTokenizer;
import java.util.Vector;








public class Main{
	static long md=(long)1e9+7L;
	
	static long qm(long a,long b) {
		long res=1;
		while(b>0) {
			if((b&1)==1)res=(res*a)%md;
			a=a*a%md;
			b>>=1;
		}
		return res;
	}
	
	static
	class Trie{
		long[] cnt;//一个数分成32位，共32层，最后一层最多为n
    	int[][] tr;//01trie
    	int t;
    	public Trie(int n) {
    		cnt=new long[n*32];
    		tr=new int[n*32][2];
    		t=0;
    	}
    	void insert(int x,long y) {
    		int p=0;
    		for (int i = 31; i >= 0; i--) {
    			int j=(x>>i)&1;
    			if(tr[p][j]==0) {
    				t++;
    				tr[p][j]=t;
    			}
    			p=tr[p][j];
    			cnt[p]=(cnt[p]+y)%md;//在沿途放上，便于统计小于k的情况
    			
    		}
    	}
    	long query(int x,int k) {
    		long res=0;
    		int p=0;
    		for (int i = 31; i >= 0; i--) {
    			int xt=(x>>i)&1;
    			int kt=(k>>i)&1;
    			if(kt==1&&tr[p][xt]!=0) {
    				res=(res+cnt[tr[p][xt]])%md;
    				//统计i^j<k
                    
    			}
    			if(tr[p][xt^kt]==0) {
    				return res;
    				//不能满足前t-1位，i^j=k
    			}
    			p=tr[p][xt^kt];
    		}
    		res=(res+cnt[p])%md;
    		//i^j=k的情况
    		return res;
    	}
	}
	
	
	public static void main(String[] args) throws IOException{
		AReader input=new AReader();
	    PrintWriter out = new PrintWriter(new OutputStreamWriter(System.out));

	    int T=input.nextInt();
	    while(T>0) {
	    	int n=input.nextInt();
	    	int k=input.nextInt();
	    	int[] a=new int[n+1];
	    	for(int i=1;i<=n;++i)a[i]=input.nextInt();
	    	Arrays.sort(a,1,n+1);
	    	
	    	
	    	Trie Tp=new Trie(n+1);
	    	long ans=n;//min=i,max=j，i=j的情况
	    	for(int i=1;i<=n;++i) {
	    		//此时trie上的数均小于a[i]
	    		int x=a[i];
	    		ans=(ans+Tp.query(x, k)*qm(2, i-1)%md)%md;
	    		long inv=qm(qm(2L, i), md-2);
	    		Tp.insert(x, inv);
	    	}
	    	out.println(ans);
	    	T--;
	    }
 	    out.flush();
	    out.close();
	}
	static
	class AReader{
	    BufferedReader bf;
	    StringTokenizer st;
	    BufferedWriter bw;

	    public AReader(){
	        bf=new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
	        st=new StringTokenizer("");
	        bw=new BufferedWriter(new OutputStreamWriter(System.out));
	    }
	    public String nextLine() throws IOException{
	        return bf.readLine();
	    }
	    public String next() throws IOException{
	        while(!st.hasMoreTokens()){
	            st=new StringTokenizer(bf.readLine());
	        }
	        return st.nextToken();
	    }
	    public char nextChar() throws IOException{
	        //确定下一个token只有一个字符的时候再用
	        return next().charAt(0);
	    }
	    public int nextInt() throws IOException{
	        return Integer.parseInt(next());
	    }
	    public long nextLong() throws IOException{
	        return Long.parseLong(next());
	    }
	    public double nextDouble() throws IOException{
	        return Double.parseDouble(next());
	    }
	    public float nextFloat() throws IOException{
	        return Float.parseFloat(next());
	    }
	    public byte nextByte() throws IOException{
	        return Byte.parseByte(next());
	    }
	    public short nextShort() throws IOException{
	        return Short.parseShort(next());
	    }
	    public BigInteger nextBigInteger() throws IOException{
	        return new BigInteger(next());
	    }
	    public void println() throws IOException {
	        bw.newLine();
	    }
	    public void println(int[] arr) throws IOException{
	        for (int value : arr) {
	            bw.write(value + " ");
	        }
	        println();
	    }
	    public void println(int l, int r, int[] arr) throws IOException{
	        for (int i = l; i <= r; i ++) {
	            bw.write(arr[i] + " ");
	        }
	        println();
	    }
	    public void println(int a) throws IOException{
	        bw.write(String.valueOf(a));
	        bw.newLine();
	    }
	    public void print(int a) throws IOException{
	        bw.write(String.valueOf(a));
	    }
	    public void println(String a) throws IOException{
	        bw.write(a);
	        bw.newLine();
	    }
	    public void print(String a) throws IOException{
	        bw.write(a);
	    }
	    public void println(long a) throws IOException{
	        bw.write(String.valueOf(a));
	        bw.newLine();
	    }
	    public void print(long a) throws IOException{
	        bw.write(String.valueOf(a));
	    }
	    public void println(double a) throws IOException{
	        bw.write(String.valueOf(a));
	        bw.newLine();
	    }
	    public void print(double a) throws IOException{
	        bw.write(String.valueOf(a));
	    }
	    public void print(char a) throws IOException{
	        bw.write(String.valueOf(a));
	    }
	    public void println(char a) throws IOException{
	        bw.write(String.valueOf(a));
	        bw.newLine();
	    }
	}
}