图论连通性

原创于 2024-07-13 10:46:42 发布 · 1.2k 阅读

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#图论 #算法

无向图

割点：删除x和与x相连的边，图不再连通，x为割点
割边：删去该边e，图不再连通，e为割边
点双连通分量：其本身不存在割点，但可以有原图的割点（此时在这个点双中就是普通的点），极大图，一个点双中可以有多个原图的割点
边双连通分量：其本身不存在割边，极大图
点双不具有传递性，边双具有传递性((x,y),(y,z)=>(x,z))

Tarjan

时间戳dfn：访问到的时间
返祖边：搜索树上连向其祖先节点的边
由于搜索树结构，不存在横向边（连向同层节点的边）
low[u]定义：u和以u为根的子树通过返祖边（包括树边和非树边）能连到的最小的dfn
若是一条树边：low[u]=min(low[v[,low[u])
若是一条非树边：low[u]=min(low[u],dfn[v])

求割点

割点满足：其儿子的low[v]>=dfn[u]，即没有儿子跨过u，儿子与u相连只有树边
对于根要判断儿子个数大于1
可以走反向边
特判为根且搜索树上只有一个儿子，此时注意重边

求a,b间的割点，tarjan(a)判断如下

if(low[v]>=dfn[x]){
    if(x!=a&&x!=b&&dfn[x]<=low[b])ge[x]=true;
}

求点双

每次访问到一个点将其入栈
若满足low[v]>=dfn[u]，则出栈直到v出，此时出栈的所有点和v是一个点双
每个点双，每个点都在一个环上，若点双有奇环，则所有点都在奇环
判奇环，二分图黑白染色

求割边

割边满足：一条边只走一次，v没有另一条边到达u（父亲）即low[v]>dfn[u]
可以避免重边

求边双

一边只走一次，若low[u]==dfn[u]（除了树边，没有其他到树上祖先的边），则为边双

点双缩点连图

割点单独为一个点，每个点双除割点，缩成一个点
割点向其所在的点双连边

边双缩点连图

每个边双缩点，用桥相连

缩点连图

转为无向无环图

有向图

强连通：图中存在路径u--->v和v--->u
弱连通：图中只存在路径u--->v或v--->u
强连通分量：该子图中对于任意一点对，存在路径u--->v和v--->u，极大图

Tarjan

时间戳dfn
low[u]为u和以u为根的子树中能连到的还未出栈的最小dfn
访问到则入栈
dfn[u]=low[u]，即到该点往上不会有强连通（有向边），
出栈直到u出栈，此时出栈的点为一个强连通分量

强连通缩点

将有向图，转为有向无环图
之后可以考虑入度出度，topu排序dp
注意会有重边，所以缩点连边时要判断是否已经连上，不要重复计算入度出度

求加入最少的边变成一个强连通，先缩点

int a=0,b=0;
for(int i=1;i<=cc;++i){
    if(!in[i])a++;
    if(!out[i])b++;
}
if(cc==1)std::cout<<0<<std::endl;
else std::cout<<max(a,b)<<std::endl;

代码

割点

    auto tarjan=[&](auto &&tarjan,int x)->void{
        dfn[x]=low[x]=++tt;int ch=0;
        for(auto v:G[x]){
            if(!dfn[v]){
                tarjan(tarjan,v);
                low[x]=min(low[x],low[v]);
                if(low[v]>=dfn[x]){
                    ch++;
                    if(x1!=rt||ch>1)
                        ge[x]=true;
                }
            }else low[x]=min(low[x],dfn[v]);
        }
        if(rt==x&&ch==1)ge[x]=false;
    };

点双，缩点

        std::vector<int> dfn(n+5,0),low(n+5,0);int tt=0;
        std::vector<int> sz(n+5,0),col(n+5,0);int cc=0;
        std::stack<int> st;std::vector<std::vector<int>> hs(n+5);
        std::vector<bool> ge(n+5,false);int rt=0;
        auto tarjan=[&](auto &&tarjan,int x)->void{
            dfn[x]=low[x]=++tt;int ch=0;
            st.push(x);
            for(auto v:G[x]){
                if(!dfn[v]){
                    tarjan(tarjan,v);
                    low[x]=min(low[x],low[v]);
                    if(low[v]>=dfn[x]){
                        ch++;
                        if(x!=rt||ch>1){
                            ge[x]=true;
                        }
                        int y;cc++;//缩点
                        do{
                            y=st.top();st.pop();
                            col[y]=cc;sz[cc]++;hs[cc].push_back(y);
                        }while(y!=v);
                        hs[cc].push_back(x);sz[cc]++;//割点放入
                    }
                }else low[x]=min(low[x],dfn[v]);
            }

        };
        for(int i=1;i<=n;++i)if(!dfn[i]){
                rt=i;
                tarjan(tarjan,i);
            }

割边，边双，缩点

    std::vector<int> dfn(n+5,0),low(n+5,0);int tt=0;
    std::vector<int> sz(n+5,0),col(n+5,0);int cc=0;
    std::stack<int> st;std::vector<std::vector<int>> hs(n+5);
    auto tarjan=[&](auto &&tarjan,int x,int p)->void{
        dfn[x]=low[x]=++tt;
        st.push(x);
        for(auto [v,i]:G[x]){//i为边的编号
            if(i==p)continue;
            if(!dfn[v]){
                tarjan(tarjan,v,i);
                low[x]=min(low[x],low[v]);
//                if(low[v]>dfn[x]){
//                    std::cout<<i<<std::endl;
//                }
            }else low[x]=min(low[x],dfn[v]);
        }
        if(low[x]==dfn[x]){
            int y;cc++;
            do{
                y=st.top();st.pop();
                col[y]=cc;sz[cc]++;hs[cc].push_back(y);
            }while(y!=x);
        }
    };
    for(int i=1;i<=n;++i)if(!dfn[i])tarjan(tarjan,i,0);

强连通分量

    std::vector<int> dfn(n+5,0),low(n+5);int tt=0;
    std::stack<int> st;std::vector<std::vector<int>> hs(n+5);
    std::vector<int> col(n+5,0),sz(n+5,0);int cc=0;
    auto tarjan=[&](auto &&tarjan,int x)->void{
        dfn[x]=low[x]=++tt;
        st.push(x);
        for(auto v:G[x]){
            if(!dfn[v]){
                tarjan(tarjan,v);
                low[x]=min(low[x],low[v]);
            }else if(!col[v])low[x]=min(low[x],dfn[v]);
        }
        if(dfn[x]==low[x]){
            ++cc;
            int y;
            do{
                y=st.top();st.pop();
                col[y]=cc;sz[cc]++;hs[cc].push_back(y);
            }while(y!=x);
        }
    };
    for(int i=1;i<=n;++i){
        if(!dfn[i])tarjan(tarjan,i);
    }